18.2.1 矩形1 第2课时 矩形的判定

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第2课时 矩形的判定

ADCE是平行四边形，再根据AD是高即可

得出四边形ADCE是矩形．

1．掌握矩形的判定方法；(重点)

2．能够运用矩形的性质和判定解决实证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE际问题．(难点) 是△BAC的外角平分线，∴∠FAE＝

∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC， ∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，

∴AE∥BC.又∵DE∥AB，∴四边形AEDB

是平行四边形，∴AE平行且等于BD.又

一、情境导入 ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴AE我们已经知道，有一个角是直角的平行平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以边形．又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我ADCE是矩形． 们能否找到其他的判定矩形的方法呢？

方法总结：平行四边形的判定与性质以

矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：

及矩形的判定常综合运用，解题时利用平行

1．两条对角线相等且互相平分； 2．四个内角都是直角．

四边形的判定得出四边形是平行四边形再

这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？

证明其中一角为直角即可．

二、合作探究 探究点一：有一个角是直角的平行四边探究点二：对角线相等的平行四边形是形是矩形 矩形

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD

是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E.求证：四边形ADCE是矩形．

解析：首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，进而得到AE∥BC，即可得出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出四边形

如图，在平行四边形ABCD中，

对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．

解析：首先由平行四边形ABCD可得OA＝OC，OB＝OD.若ON＝OB，那么ON＝OD.而CM＝AN，即ON＝OM.由此可证得四边形NDMB的对角线相等且互相平分，

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即可得证．

证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴MN＝BD，∴四边形NDMB为矩形．

方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．

探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形

如图，O是矩形ABCD的对角线

的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.

(1)求证：四边形EFGH是矩形；

(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．

解析：(1)证明四边形EFGH对角线相等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得．

如图，?ABCD各内角的平分线分

别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．

解析：利用“有三个内角是直角的四边形是矩形”证明四边形EFGH是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，11

∴∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC，

2211

∴∠HAB＋∠HBA＝(∠DAB＋∠ABC)＝

22×180°＝90°，∴∠H＝90°.同理∠HEF＝∠F

＝90°，∴四边形EFGH是矩形．

方法总结：题设中隐含多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．

探究点四：矩形的性质和判定的综合运用

【类型一】 矩形的性质和判定的运用

如图所示，在梯形ABCD中，

AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；

(2)解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC.∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°.又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD.∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm.∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝DB2－DC2＝43cm，∴S矩形ABCD＝4×43＝163(cm2)．

方法总结：若题设条件与这个四边形的对角线有关，要证明一个四边形是矩形，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分． 【类型二】 矩形的性质和判定与动点问题 第 2 页 共 3 页

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动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．

(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？

(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？

解析：(1)设经过ts时，四边形PQCD是平行四边形，根据DP＝CQ，代入后求出即可；(2)设经过t′s时，四边形PQBA是矩形，根据AP＝BQ，代入后求出即可． 解：(1)设经过ts，四边形PQCD为平行四边形，即PD＝CQ，所以24－t＝3t，解得t＝6；

(2)设经过t′s，四边形PQBA为矩形，即AP＝

BQ，所以t′＝26－3t′，解得t′＝

13. 2

的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法．教师在例题练习的教学中，若能适当地引导学生多做一些变式练习，类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的效率．

方法总结：①证明一个四边形是平行四边形，若题设条件与这个四边形的边有关，通常证这个四边形的一组对边平行且相等；②题设中出现一个直角时，常采用“有一角是直角的平行四边形是矩形”来判定矩形．

三、板书设计 1．矩形的判定

有一角是直角的平行四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形； 有三个角是直角的四边形是矩形． 2．矩形的性质和判定的综合运用

在本节课的教学中，不仅要让学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习

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