概率与数理统计 - 试卷及答案

一、单项选择(每题2分, 共10分)

1、设A、B、C为互不相容的三事件，P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.4, 则P[(A?B)-C]=( )

a、0.5; b、0.1； c、0.44； d、0.3。

2、以A表示“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件为( ) a、甲乙产品均畅销; b、甲滞销乙畅销；

c、甲畅销； d、甲滞销或乙畅销。 3、设X的概率密度为a、

1,则Y=2X的概率密度为( ) 2?(1?x)1121arctany。; b、; c、 ； d、 222??(1?4y)?(4?y)?(1?y)4、二维随机变量(X,Y)中X与Y相互独立,则( )一定不成立

a、f(x,y)=fX(x)fY(y)； b、F(x,y)=FX(x)FY(y)； c、pi j = pi·p·j ； d、f(x+y)=f(x)+f(y)。 5、已知X的概率密度f(x)= a、

12?e?(x?3)24, 则Y=( ) ~N(0, 1)。

X?3X?33?X3?X

; b、; c、； d、。 2222

二、 填空 (每题4分, 共20分)

1、设事件A 、B满足P(AB) =P(AB)，且P(A)=p,则P(B)=_________. 2、设X~N(0,1),则Y=2X2+1的概率密度为________________. 3、两正态总体均值差?1-?2的检验: H0: ?1=?2; H1: ?1??2 (?12=?22未知) (1)检验统计量为_________________; (2)拒绝域为____________. 4、随机变量X1,X2,X3相互独立,且都服从均匀分布U(0,2), 令

X=3X1-X2+2X3 ,则E(X)=___________，D(X)＝ . 5、一批产品共2000个,其中有40个次品,随机抽取100个,则样品中 次品数X的分布律为:

(1) 不放回抽样: ______________________________;

(2) 放回抽样:_____________________________.

三、从1到9的9个整数中有放回地随机取3次,每次取一个数,求取出的3个数之积能被10整除的概率. (10分) 四、设总体X具有概率密度 f(x)=

?k(k?1)!xk?1e??x,x?0

0, 其它

其中k?1为已知的正整数,求?的矩估计量及最大似然估计量.

（20分）

五、设A和B是试验E的两个事件,且P(A)>0, P(B)>0, 并定义随机

变量X,Y如下:

X = 1, 若A发生 Y= 1, 若B发生 0, 若A不发生 0, 若B不发生 证明: 若?XY=0, 则X,Y必定相互独立. (20分) 六、设X和Y是两个相互独立的随机变量,且都服从N(0,1),求Z=X+Y

的概率密度. （10分）

七、设(X,Y)的联合密度函数为

f(x,y) =

1?xy,4x?1,y?1

0, 其它

证明: X与Y不相互独立. (10分)

2008~2009学年春季概率统计C试卷B参考答案

一、 a、 d、 b、 d、 b 二、 1. 1-p； 2. y?1,3. t?12?(y?1)e?y?14;y?1,0；

(X1?X2)?(?1??2)SW11?n1n2~t(n1?n2?2) ; t?t?(n1?n2?2);

2k100?kC40C1960 4. 4 , 14/3 ; 5.P(X?k)?,k?0,1,2,?,40, 100C2000 X~b(100,),15kP(X?k)?C100(1k49100?k)(),k?0,1,2,?,40 5050三、设A1:“取出的三个数中有偶数”, A2:“取出的三个数中有5”，

P(3数之积能被10整除)=P(A1A2)=1-P(A1A2) =1?P(A1?A2)?1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)

=1-(5/9)3-(8/9)3+(4/9)3=0.214

四、(1)矩估计 因 ?1????011k(?x)ke??xd(?x) =?(k?1)?

(k?1)!?(k?1)!???1?X,?而 ?k?X????k ??X (2)最大似然估计:

L(?)??i?1nx(k?1)!?kk?1??xiie?[](?xi)(k?1)!i?1n?knk?1??en?xii?1n

lnL?nkln??nln(k?1)!?(k?1)ln?xi???xii?1i?1ndlnLnkn??k ???xi?0,??d??i?1x五、 X 0 1 Y 0 1

Pk 1-P(A) P(A) Pk 1-P(B) P(B) XY 0 1

Pk 1-P(AB) P(AB) E(X)=P(A) , E(Y)=P(B), E(XY)=P(AB)

?xy=0 ? Cov(X,Y)=0? E(XY)=E(X)E(Y)?P(AB)=P(A)P(B) 即 A与B相互独立,于是A,B;A,B;A,B 均相互独立

则 P(X=1,Y=1)=P(AB)=P(A)P(B)=P(X=1)P(Y=1)

P(X=1,Y=0)=P(AB)=P(A)P(B)=P(X=1)P(Y=0)

P(X=0,Y=1)=P(AB)=P(A)P(B)=P(X=0)P(Y=1) P(X=0,Y=0)=P(AB)=P(A)P(B)=P(X=0)P(Y=0)

故 X与Y相互独立.

1?2?六、fz(z)??ee??2???x2(z?x)22edx?2??z24?????ez?(x?)22dx

令t=x-z/2, 得

1?4fZ(z)?e2?

z21?41?4?t???edt?2?e??2?e

??2z2z2 即 Z~N(0,2) 七、 fX(x)=

1?xy1dy?,??142?1x?1 ,

0, 其它

fY(y)= 1?xy1dx?,??142?1y?1 ,

0, 其它

因 fX(x)fY(y) ? f(x, y)

,

所以 X与Y不独立.