2020届新高考数学二轮课时作业：层级二 专题五 第3讲 圆锥曲线的综合应用 含解析

高三数学专题复习

(1)求p的值及抛物线的准线方程； S1

(2)求的最小值及此时点G的坐标．

S2p

解：(1)由题意得＝1，即p＝2.

2所以，抛物线的准线方程为x＝－1.

(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xc，yc)，重心G(xG，yG)．令yA＝2t，t≠0，则xA＝t2. t2－12?t2－1?

22

由于直线AB过F，故直线AB的方程为x＝y＋1，代入y＝4x，得y－y－4

2tt＝0，

122

，－?. 故2tyB＝－4，即yB＝－，所以B?2

t??tt

112

又由于xG＝(xA＋xB＋xC)，yG＝(yA＋yB＋yC)及重心G在x轴上，故2t－＋yC＝0，得

33t1?21???2t4－2t2＋2????C??t－t?，2?t－t??，G?，0?.

3t2??

所以，直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，得Q(t2－1,0)． 由于Q在焦点F的右侧，故t2＞2.从而 1

|FG|·|yA|S12＝ S21

|QG|·|yc|2

?2t4－2t2＋2?

|2t|?－1?·2t4－t2t2－23t2??

＝＝4＝2－4.

2t4－2t2＋2??2t－1t－1?2?－2t·?t－1－??3t2???t

令m＝t2－2，则m>0，

S1m1

＝2－2＝2－≥2－S23m＋4m＋3m＋＋42 m

13m·＋4m

＝1＋

3. 2

S13

当m＝3时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．

S22

5．(2019·北京卷)已知拋物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)． (1)求拋物线C的方程及其准线方程；

(2)设O为原点，过拋物线C的焦点作斜率不为0的直线l交拋物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

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高三数学专题复习

解析：本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．

(1)将点(2，－1)代入抛物线方程：22＝2p×(－1)可得：p＝－2， 故抛物线方程为：x2＝－4y，其准线方程为：y＝1. (2)很明显直线l的斜率存在，焦点坐标为(0，－1)，

设直线方程为y＝kx－1，与抛物线方程x2＝－4y联立可得：x2＋4kx－4＝0. 故：x1＋x2＝－4k，x1x2＝－4.

x1x2x1

x1，－?，N?x2，－?，则kOM＝－， 设M?4?4???4x2

kON＝－，

4

44x1

，－1?，同理可得B?，－1?， 直线OM的方程为y＝－x，与y＝－1联立可得：A??x1??x2?42222

＋，－1?，圆的半径为：?－?， 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：??xx??xx?1

2

1

2

2

2

22?222?x1＋x2?

且：＋＝＝2k，??x1－x2?＝2×x1x2x1x2

?x1＋x2?2－4x1x2

＝2|x1x2|

k2＋1，

则圆的方程为：(x－2k)2＋(y＋1)2＝4(k2＋1)，

令x＝0整理可得：y2＋2y－3＝0，解得：y1＝－3，y2＝1， 即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，－3)，(0,1)．

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