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9.4二元一次不等式表示的平面区域
一、组织教学 1、清点人数 2、维持课堂纪律 二、复习
在平面直角坐标系中,以二元一次方程x?y?1?0的解为坐标的点的集合{(x,y)|x?y?1?0}是经过点(0,1)和(1,0)的一条直线l,那么,以二元一次不等式(即含有两个未知数,且未知数最高次数都是1的不等式)的解为坐标的点的集合{(x,y)|x?y?1?0}是什么图形呢? 三、授新
在平面直角坐标系中,所有的点被直线x?y?1?0分成三类: (1)在直线x?y?1?0上; (2)在直线x?y?1?0的左下方的平面区域内;
(3)在直线x?y?1?0的右上方的平面区域内.
即:对于任意一个点(x,y),把它的坐标代入x?y?1,可得到一个实数,或等于0,或大于0,或小于0.若x+y-1=0,则点(x,y)在直线l上. 我们猜想:对直线l右上方的点(x,y),x?y?1?0成立; 对直线l左下方的点(x,y),x?y?1<0成立. 我们的猜想是否正确呢?下面我们来讨论一下.
不妨,在直线x?y?1=0上任取一点P(x0,y0),过点P作平行于x轴的直线y=y0,在此直线上点P右侧的任意一点(x,y),都有 x>x0,y=y0,所以,x+y>x0+y0,x?y?1>x0+y0-1=0,
oRQSlxydP(x0,y0)即x?y?1>0.
再过点P作平行于y轴的直线x=x0,在此直线上点P上侧的任意一点(x,y),都有x=x0,y>y0.所以,x+y>x0+y0,x?y?1>
x0+y0-1=0,
即x?y?1>0.
因为点P(x0,y0)是直线x?y?1=0上的任意点,所以对于直线
x?y?1=0右上方的任意点(x,y),x?y?1>0都成立.
同理,对于直线x?y?1=0左下方的任意点(x,y),x?y?1<0都成立. 如图所示:
所以,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x?y?1>0的解
(x,y)yF(x0,y0)(x,y)101x为坐标的点的集合{(x,y)|x?y?1>0}是在直线x?y?1=0右上方的平面区域 如图所示:
王新敞那么,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x?y?1<0的解为坐标的点的集合{(x,y)|x?y?1<0}是在直线x?y?1=0左下方的平面区域.
总之,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线).
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C≠0时,常把原点作为此特殊点) 王新敞例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域. 解:先画直线2x+y-6=0(画成虚线).
取原点(0,0),代入2x+y-6,∵2×0+0-6=-6<0,
∴原点在2x+y-6<0表示的平面区域内,不等式2x+y-6<0表示的区域如图: 例
2
画出不等式组
yx+y=055B(-,)22x-y+5=06x=303C(3,-3)xA(3,8)?x?y?5?0?表示的平面区域. ?x?y?0?x?3?分析:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交
集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 王新敞解:不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合,x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合,x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域 四、小结
二元一次不等式表示平面区域
(1)Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0的某一侧的平面区域不包括边
界的直线;
(2)Ax+By+C≥0所表示的平面区域包括边界直线Ax+By+C=0 五、作业
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