数学9.4二元一次不等式表示的平面区域

9.4二元一次不等式表示的平面区域

一、组织教学 1、清点人数 2、维持课堂纪律 二、复习

在平面直角坐标系中，以二元一次方程x?y?1?0的解为坐标的点的集合{(x,y)｜x?y?1?0}是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l，那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合{（x,y)｜x?y?1?0}是什么图形呢？ 三、授新

在平面直角坐标系中，所有的点被直线x?y?1?0分成三类： （1）在直线x?y?1?0上； （2）在直线x?y?1?0的左下方的平面区域内；

（3）在直线x?y?1?0的右上方的平面区域内.

即：对于任意一个点（x,y），把它的坐标代入x?y?1，可得到一个实数，或等于0，或大于0，或小于0.若x+y-1=0，则点(x,y)在直线l上. 我们猜想：对直线l右上方的点(x,y)，x?y?1?0成立； 对直线l左下方的点（x,y)，x?y?1＜0成立. 我们的猜想是否正确呢？下面我们来讨论一下.

不妨，在直线x?y?1=0上任取一点P（x0,y0)，过点P作平行于x轴的直线y=y0,在此直线上点P右侧的任意一点（x,y），都有 x＞x0，y=y0,所以，x+y＞x0+y0，x?y?1＞x0+y0-1=0,

oRQSlxydP(x0,y0)即x?y?1＞0.

再过点P作平行于y轴的直线x=x0，在此直线上点P上侧的任意一点（x,y)，都有x=x0,y＞y0.所以，x+y＞x0+y0，x?y?1＞

x0+y0-1=0,

即x?y?1＞0.

因为点P（x0,y0)是直线x?y?1=0上的任意点，所以对于直线

x?y?1=0右上方的任意点(x,y)，x?y?1＞0都成立.

同理，对于直线x?y?1=0左下方的任意点（x,y），x?y?1＜0都成立. 如图所示：

所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x?y?1＞0的解

(x,y)yF(x0,y0)(x,y)101x为坐标的点的集合{（x,y)｜x?y?1＞0}是在直线x?y?1=0右上方的平面区域 如图所示：

王新敞那么，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x?y?1＜0的解为坐标的点的集合{(x,y)｜x?y?1＜0}是在直线x?y?1=0左下方的平面区域.

总之，二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点） 王新敞例1 画出不等式2x+y-6＜0表示的平面区域. 解：先画直线2x+y-6=0（画成虚线）.

取原点（0，0），代入2x+y-6,∵2×0+0-6=-6＜0,

∴原点在2x+y-6＜0表示的平面区域内，不等式2x+y-6＜0表示的区域如图： 例

2

画出不等式组

yx+y=055B(-,)22x-y+5=06x=303C(3,-3)xA(3,8)?x?y?5?0?表示的平面区域. ?x?y?0?x?3?分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交

集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 王新敞解：不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合，x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域 四、小结

二元一次不等式表示平面区域

（1）Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0的某一侧的平面区域不包括边

界的直线；

（2）Ax+By+C≥0所表示的平面区域包括边界直线Ax+By+C=0 五、作业

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