新疆乌鲁木齐市2015届高考数学一诊试卷（理科）

23．在平面直角坐标系xOy中，P是直线2x+2y﹣1=0上的一点，Q是射线OP上的一点，满足|OP|?|OQ|=1．

（Ⅰ）求Q点的轨迹；

（Ⅱ）设点M（x，y）是（Ⅰ）中轨迹上任意一点，求x+7y的最大值．

考点： 简单曲线的极坐标方程；轨迹方程． 专题： 计算题；坐标系和参数方程．

分析： （Ⅰ）设射线OP的极坐标方程为ρ=，依题意可知，动点Q的极坐

标为（ρ，θ），P（ρ′，a），由|OP|?|OQ|=1，可得ρ′?ρ=1，即可求出Q点的轨迹； （Ⅱ）设M（1+cosα，1+sinα），可得x+7y=1+cosα+7+7sinα=8+10sin（α+γ），即可求x+7y的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）设射线OP的极坐标方程为ρ=

，

依题意可知，动点Q的极坐标为（ρ，θ），P（ρ′，a），由|OP|?|OQ|=1，可得ρ′?ρ=1． ∴ρ=

2

=2cosθ+2sinθ，

∴ρ=2ρcosθ+2ρsinθ， 22

∴x+y=2x+2y，

22

∴（x﹣1）+（y﹣1）=2，

∴Q点的轨迹是以（1，1）为圆心，为半径的圆； （Ⅱ）设M（1+cosα，1+sinα），

∴x+7y=1+cosα+7+7sinα=8+10sin（α+γ）， ∴x+7y的最大值为18．

点评： 本题考查极坐标与参数方程，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础．

【选修4-5：不等式选讲】

24．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0． （Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；

（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．

考点： 绝对值不等式的解法；其他不等式的解法． 专题： 计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．

分析： （Ⅰ）运用绝对值不等式的性质和基本不等式，即可得证；

（Ⅱ）通过对x的范围的分类讨论去掉绝对值符号，转化为一次不等式，求得（f（x）+f（2x））

min即可．

解答： （Ⅰ）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜0， 则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a| =|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|

=|x+|=|x|+≥2=2．

（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．

当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a； 当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a； 当x

时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．

则f（x）的值域为[﹣，+∞），

不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为 ＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，

则a的取值范围是（﹣1，0）．

点评： 本题考查绝对值不等式的解法，通过对x的范围的分类讨论去掉绝对值符号是关键，考查不等式恒成立问题转化为求最值问题，考查分类讨论思想，属于中档题．