数字信号答案（第三版）程佩青-需要的看看啊啊 - 图文

解 :

对题中给定的差分方程的两边 作Z变 换，得：

?15y(n?1)?y(n)?y(n?1)?x(n)2

5zY(z)?Y(z)?zY(z)?X(z)2

Y(z)H(z)?X(z)因此

?z?1

15??z2

? 其零点为

z1(z?2)(z?)2

12z?0

z?2z2? 极点为 1 ,

因为该系统不限定为因果，稳定系统,所以其收敛域情况有三种，分别如左图所示。

收敛域情况有： 零极点图一：

z?2

零极点图二：

1?z?22

零极点图三：

注：如果想要参看具体题解，请先选择方案，然后单击 解答 按键即可。

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1z?2 (1) 按12题结果(此处z1=2, z2=1/2),

可知当收敛区域为

z?2,则系统

是非稳定的，但是因果的。其单

位抽样响应为：

h(n)?1zz(znn1?z2)u(n)1?2

?2n3(2?2?n)u(n)

(2) 同样按12题，当收敛区域为

12?z?2 ，

则系统是稳定的但是非因果的。

其单位抽样响应为：

h(n)?1zzn(?n?1)?zn1u2u(n)2?z??1??2?n3??2nu(?n?1)??1?????2??u(n)???

(|z2|?|z|?|z1|)

(其中 zz11?2

2?2 )

(3)

类似 , 当收敛区域为

z?12时，

则统是非稳定的，又是非因果的。

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其单位抽样响应为：

h(n)?1z?znu(?n?1)?zn12u(?n?1)?2?z1

??23(2n?2?n)u(?n?1)

(其中

z1?2,z2?12)

15. 有一个用以下差分方程表示的线性移不变因果系统

y(n)?2ry(n?1)co?s?r2y(n?2)?x(n) 当激励

x(n)?anu(n)时,求系统的响应。请用z变换来求解。 分析：

两种解法：

①直接由Z变换Y（z）的关系可得到y（n）， ②由Y（z）用留数法可求得y（n）。

解法一:

已知

x(n)?anu(n), 则 y(n)?2ry(n?1)cos??r2y(n?2) ?anu(n)

将上式进行Z变换，得：

Y(z)?2rz?1Y(z)cos??r2z?2Y(z) ?11?az?1 因此

Y(z)?1(1?2rz?1cos??r2z?2)(1?az?1)

?1

(1?rej?z?1)(1?re?j?z?1)(1?az?1)

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?????(rej?)mz?m???????(re?j?)lz?l??m?0??l?0?? ? ??k?k?

?? ? azk?0??

???????rm?lm?0l?0k?0

e j (m ? l)?akz?(l?m?k)

令n?m?l?k，

则 Y(z)???????rn?kej(n?2l?k)?akz?nn?0l?0k?0

所以y(n)?????rn?kej(n?2l?k)?akl?0k?0解法二：

差分方程进行Z变换后得:

H(z)?11?2rz?1cos??r2z?2 ?z2(z?z1)(z?z2) 其中

z1?rej??r(co?s?jsin?)

z2?re?j??r(co?s?jsin?)故 Y(z)?H(z)X(z)z3 ?(z?z1)(z?z2)(z?a) 其收敛区域为

z?max?r,a?。因为

是因果系统，且当n?0时x(n)等 于零，所以 y(n)?0,n?0当n?0 时，采用围线积分法，其中围线C 包围z1,z2,a三个极点，所以

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