高中数学平面的法向量与平面的向量表示题库

15.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.

(1)求证：E，B，F，D1四点共面；

2

(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：ME⊥平面BCC1B1.

3考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直

证明 (1)以点B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，

→→→

则BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)， →→→∴BD1＝BE＋BF， →→→

故BD1，BE，BF共面． 又它们有公共点B， ∴E，B，F，D1四点共面．

2→

0，－，z?， (2)设M(0,0，z)，则GM＝?3??→

而BF＝(0,3,2)，

2→→

由题设得GM·BF＝－·3＋z·2＝0，得z＝1.

3→

∵M(0,0,1)，E(3,0,1)，∴ME＝(3,0,0)， →→

又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)， →→→→∴ME·BB1＝0，ME·BC＝0，

从而ME⊥BB1，ME⊥BC. 又BB1∩BC＝B， 故ME⊥平面BCC1B1.