高中数学平面的法向量与平面的向量表示题库

答案 B

解析 α⊥β?μ·v＝0?－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.

8．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( ) A.?

333?

，，－33??3

333? ，，

333?B.?

333? ，－，

33??3

C.?－

?

D.?－

?

333? ，－，－

333?答案 D

→→

解析 AB＝(－1,1,0)，AC＝(－1,0,1)． 设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)． →??n＝0，?AB·?－x＋y＝0，∵? ∴?

→?－x＋z＝0.??n＝0，?AC·

令x＝1，则y＝1，z＝1，∴n＝(1,1,1)， 单位法向量为?二、填空题

9．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x的值为________． 答案 11

解析 ∵点P在平面ABC内， ∴存在实数k1，k2， →→→使AP＝k1AB＋k2AC，

即(x－4，－2,0)＝k1(－2,2，－2)＋k2(－1,6，－8)，

333??333

或－，－，－?. ，，33??333??3

???2k1＋6k2＝－2，?k1＝－4，

∴?解得? ???k1＋4k2＝0，?k2＝1.

∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7， 即x＝11.

10．设平面α的法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的法向量为n＝(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________. 答案 4

－2

解析 由α∥β，得＝＝(kD＝/0)，解得k＝4.

－2－4k

1

2

11．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝13，SB＝29，则直线SC与BC是否垂直________．(填“是”“否”) 答案 是

解析 如图，以A为坐标原点，AC，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，

则由AC＝2，BC＝13， SB＝29， 得B(－13，2,0)， S(0,0，23)，C(0,2,0)， →

SC＝(0,2，－23)， →

CB＝(－13，0,0)．

→→因为SC·CB＝0，所以SC⊥BC. 三、解答题

12．已知平面α经过点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量． 解 ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)， →→

∴AB＝(1，－2，－4)，AC＝(2，－4，－3)． 设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，

→??AC＝0，?n·?2x－4y－3z＝0，

依题意有?即?

→???x－2y－4z＝0，AB＝0，?n·

??z＝0，

解得?令y＝1，则x＝2，

?x＝2y，?

∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．

13.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，23AD＝AB，E是PC的中点．

3

求证：PD⊥平面ABE.

证明 ∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，

∴AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

设PA＝AB＝BC＝1，则

23?

P(0,0,1)，A(0,0,0)，B(1,0,0)，D?0，，0.

3??∵∠ABC＝60°， ∴△ABC为正三角形． 13131

∴C?，，0?，E?，，?.

?22??442?131→→

∴AB＝(1,0,0)，AE＝?，，?，

?442?∴设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)， →?x＝0，?AB＝0，??n·则?即?131→x＋y＋z＝0，??AE＝0，?n·42?4

令y＝2，则z＝－3，∴n＝(0,2，－3)． 23→?∵PD＝?0，，－1，

3??3→→

显然PD＝n，∴PD∥n，

3

→

∴PD⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.

14.如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．

求证：平面DEA⊥平面ECA.

证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA＝2，

则CE＝2，BD＝1，C(0,0,0)，A(3，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)．

→→→

所以EA＝(3，1，－2)，CE＝(0,0,2)，ED＝(0,2，－1)．

分别设平面CEA与平面DEA的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)， →?EA＝0，?n1·则?

→?CE＝0，?n1·

???3x1＋y1－2z1＝0，?y1＝－3x1，即?解得? ???2z1＝0.?z1＝0.

→?EA＝0，?n2·?

→?ED＝0，?n2·

???3x2＋y2－2z2＝0，?x2＝3y2，即?解得? ???2y2－z2＝0.?z2＝2y2.

不妨取n1＝(1，－3，0)，n2＝(3，1,2)， 因为n1·n2＝0，所以两个法向量相互垂直． 所以平面DEA⊥平面ECA.