高中数学平面的法向量与平面的向量表示题库

2

故当AM＝AE时，A1M⊥平面AED.

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利用向量求解空间中的探索性问题

典例 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.

考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面垂直

解 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，P(0,1，a)，

1

，1，0?，C1(0,1,1)， 则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E?2??

1—→→→→

，1，0?，DC1＝(0,1,1)． A1B1＝(0,1,0)，A1P＝(－1,1，a－1)，DE＝??2?设平面A1B1P的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， —→??A1B1＝0，?n1·?y1＝0，

则?即?

→???－x1＋y1＋?a－1?z1＝0，A1P＝0，?n1·

∴x1＝(a－1)z1，y1＝0. 令z1＝1，得x1＝a－1， ∴n1＝(a－1,0,1)．

设平面C1DE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 1→???DE＝0，?2x2＋y2＝0，?n2·?x2＝－2y2，

则?即?∴?

→????z2＝－y2.DC1＝0，?n2·?y2＋z2＝0，

令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1， ∴n2＝(－2,1，－1)．

∵平面A1B1P⊥平面C1DE，

1

∴n1·n2＝0，即－2(a－1)－1＝0，得a＝.

2∴当P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.

[素养评析] 立体几何中探索性、存在性问题的思维层次较高，分析时应特别注意．本例由题意设出探求点的坐标，利用两平面垂直，法向量的位置关系及严密的逻辑推理，从而得出点P的坐标．

1

1，，2?，则m等于( ) 1．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为??2?A．－4 B．－6 C．－8 D．8 答案 C

1

1，，2?， 解析 ∵l∥α，平面α的法向量为??2?

?1，1，2?＝0， ∴(2，m,1)·?2?

1

即2＋m＋2＝0，∴m＝－8.

2

2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( ) A．α∥β

C．α，β相交但不垂直 答案 A

解析 ∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.

3．若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( ) A．(0,1,2) C．(－1，－2,3) 答案 B

解析 向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线．

4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )

1010A．－ B．6 C．－6 D.

33答案 B

B．(3,6,9) D．(3,6,8) B．α⊥β

D．以上均不正确

解析 ∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行． 23－1

∴＝＝.∴λ＝6. 4λ－2

5．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，v＝(t,5,1)，则t的值为________． 答案 5

解析 ∵平面α与平面β垂直，

∴平面α的法向量μ与平面β的法向量v互相垂直， ∴μ·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.

1．用法向量来解决平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果．

2．利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜线的射影，同时要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果．

一、选择题

1．直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥α，则x的值为( )

A．－2 B．－2 C.2 D．±2 答案 D

解析 由题意知，－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0， 解得x＝±2.

2．若平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)，则( ) A．α∥β

C．α，β相交但不垂直 答案 C

3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在

B．α⊥β

D．以上均不正确

平面α内的是( ) A．(1，－1,1) 3

1，－3，? C.?2??答案 B

→→解析 对于A，PA＝(1,0,1)，则PA·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；同理可排除C，D；1→→?1，－4，1?·1，－4，?，则PA·对于B，PA＝?n＝2?2?(3,1,2)＝0. ??

4．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，n1＝(1,2，x)，n2＝(x，x＋1，x)，则x的值为( ) A．1或2 C．－1 答案 B

解析 由题意可知，n1·n2＝(1,2，x)·(x，x＋1，x)＝x＋2x＋2＋x2＝x2＋3x＋2＝0，解得x＝－1或x＝－2.

5．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则( ) A．l∥α C．l⊥α 答案 D

解析 当a·b＝0时，l?α或l∥α.

6．已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为( ) A．－1,2 B．1，－2 C．1,2 D．－1，－2 答案 A

解析 c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，

B．l?α D．l?α或l∥α B．－1或－2 D．－2 3

1，3，? B.?2??

3－1，3，－? D.?2??

??a＝0，?c·?m＝－1，

由c为平面α的法向量，得?得?

b＝0，?c·???n＝2.

7．两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是( )

A．－3 B．6 C．－6 D．－12