高中数学平面的法向量与平面的向量表示题库

设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， →→

则n1⊥DA，n1⊥AE，

→??DA＝2x1＝0，?n1·?x1＝0，即?得?

→???z1＝－2y1，AE＝2y1＋z1＝0，?n1·

令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)． →→因为FC1·n1＝－2＋2＝0，所以FC1⊥n1. 又因为FC1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE.

—→→—→(2)因为C1B1＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量．由n2⊥FC1，n2⊥C1B1， →??FC1＝2y2＋z2＝0，?n2·?x2＝0，

得?得?

—→?z2＝－2y2.??C1B1＝2x2＝0，?n2·

令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)， 因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.

反思感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．

跟踪训练2 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底1面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一

2点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．

解 分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，

∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，

→

设E(0，y，z)，则PE＝(0，y，z－1)， →

PD＝(0,2，－1)， →→∵PE∥PD，

∴(－1)×y－2(z－1)＝0，①

→

∵AD＝(0,2,0)是平面PAB的法向量， →

又CE＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB， →→

∴CE⊥AD，∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0. 1

∴y＝1，代入①得z＝，∴E是PD的中点，

2∴存在E点，当点E为PD的中点时，CE∥平面PAB. 题型三 利用空间向量证明垂直问题

例3 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝3，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.

证明 方法一 如图，以点A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，3)，C1(0,1，3)． ∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1,1,0)， →→→

∴AD＝(1,1,0)，AA1＝(0,0，3)，BC＝(－2,2,0)， →→∴AD·BC＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，

→→AA1·BC＝0×(－2)＋0×2＋3×0＝0， →→→→∴AD⊥BC，AA1⊥BC， ∴BC⊥AD，BC⊥AA1.

又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD.

又BC?平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. →

方法二 同方法一建系后，得AA1＝(0,0，3)， →→→

AD＝(1,1,0)，BC＝(－2,2,0)，CC1＝(0，－1，3)． 设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)． →??AA1＝0，?n1·?3z1＝0，

由?得?

→?x1＋y1＝0，??AD＝0，?n1·

令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0， ∴n1＝(1，－1,0)．

→??BC＝0，?n2·?－2x2＋2y2＝0，由?得?

→???－y2＋3z2＝0，CC1＝0，?n2·

令y2＝1，则x2＝1，z2＝∴n2＝?1，1，3?. 3?3， 3

?

∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2， ∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.

反思感悟 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．

跟踪训练3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点． (1)求证：平面AED⊥平面A1FD1；

(2)在直线AE上求一点M，使得A1M⊥平面AED. 考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面垂直

(1)证明 以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.

设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)， →—→→→

∴DA＝D1A1＝(2,0,0)，DE＝(2,2,1)，D1F＝(0,1，－2)． 设平面AED的法向量为n1＝(x1，y1，z1)． →?DA＝0，?n1·由?

→?DE＝0，?n1·

??2x1＝0，得? ??2x1＋2y1＋z1＝0.

令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．

同理，平面A1FD1的法向量为n2＝(0,2,1)． ∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2， ∴平面AED⊥平面A1FD1. (2)解 由于点M在直线AE上， →→

因此可设AM＝λAE＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)， →

则M(2,2λ，λ)，∴A1M＝(0,2λ，λ－2)． →

要使A1M⊥平面AED，只需A1M∥n1， 2λλ－22即＝，解得λ＝. 1－25