高中数学平面的法向量与平面的向量表示题库

3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示

学习目标 1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.2.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直.3.了解三垂线定理及其逆定理．

知识点一 平面的法向量

已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．

知识点二 平面的向量表示

→

设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则适合条件AM·n＝0的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式． 知识点三 两平面平行或垂直的判定及三垂线定理 1．两平面平行或垂直的判定方法

设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则容易得到 α∥β或α与β重合?n1∥n2； α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0. 2．三垂线定理

如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．

1．已知直线垂直于α，向量a平行直线l，则a是平面α的法向量．( × )

2．若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．( × ) 3．若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( √ ) 4．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．( √ )

题型一 求平面的法向量

例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．

解 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直．

如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，3，0)，E?0，

?

31?

，，B(1,0,0)，C(1，3，0)， 22?

31→→

于是AE＝?0，，?，AC＝(1，3，0)．

22??设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量， →?x＋3y＝0，?AC＝0，??n·

则?即?31

→??AE＝0，?n·?2y＋2z＝0，

??x＝－3y，所以?

??z＝－3y，

令y＝－1，则x＝z＝3.

所以平面ACE的法向量为n＝(3，－1，3)． 引申探究

若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量． 解 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则P(0,0,1)，C(1，3，0)，

→

所以PC＝(1，3，－1)即为直线PC的一个方向向量．

设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)． →

因为D(0，3，0)，所以PD＝(0，3，－1)． →??PC＝0，?n·?x＋3y－z＝0，由?即?

→???3y－z＝0，PD＝0，?n·

??x＝0，所以?令y＝1，则z＝3.

?z＝3y，?

所以平面PCD的法向量为n＝(0,1，3)． 反思感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． →→(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB，AC. →?AB＝0，?n·

(3)列方程组：由?列出方程组．

→?AC＝0?n·→?AB＝0，?n·

(4)解方程组：?

→?AC＝0.?n·

(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量．

跟踪训练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形．∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量．

解 连接PF，CF，因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB， 又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF?平面PAB. 所以PF⊥平面ABCD，因为AB＝BC，∠ABC＝60°，

所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB.

以F为坐标原点，建立空间直角坐标系Fxyz(如图所示)． 由题意得F(0,0,0)，P?0，0，

?

3?33

，D?－1，，0?，C?0，，0?， 2?22????

E?0，

?

33?. ，44?333→→

所以FE＝?0，，?，FD＝?－1，，0?.

44?2???设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)． →??4y＋4z＝0，FE＝0，?m·

则?即?→3?FD＝0，?m·－x＋y＝0.?2

33

?z＝－y，

?所以?3

x＝y，?2?

令y＝2，则x＝3，z＝－2.

所以平面DEF的法向量为m＝(3，2，－2)． 题型二 利用空间向量证明平行问题

例2 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F.

证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，

→→→

所以FC1＝(0,2,1)，DA＝(2,0,0)，AE＝(0,2,1)．