导数巧解含参问题

导数巧解含参问题

【摘 要】新课程中导数是分析和解决问题的有效工具。可解决判断或论证函数的单调性，求函数的极值和最值，已知单调区间求参数的范围，利用单调性证明不等式，利用最值求不等式恒成立问题，证明不等式，判断方程的根等问题。

。 【关键词】导数 参数 单调性 极值和最值

新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，导数已成为分析和解决问题时的不可缺少的工具。近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。

有关导数在函数中的应用主要类型有：已知单调区间求参数的范围，利用单调性证明不等式，利用最值求解不等式恒成立问题，判断方程的根等问题。这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，仅2010年全国卷（ⅰ）卷中，用导数解函数问题的考题有三道，共有分数29分，约占全试卷分数的20%，有关专家认为：由于导数在工农业生产中的广泛应用，已成为大学各专业课程的不可缺少的基础课内容，所以今后的高考也将作为学生必须加强的考试内容。本人结合教学实践，就导数在含参问题中的应用进行了一些探究。

类型一，已知单调区间求参数的范围。

讨论函数的单调区间的解题步骤通常有三步：首先是对函数求导、其次是求 ＞0或 ＜0的区间，再判断函数的增减性。而求函

数参变量的取值范围的解题方法是：利用f,(x)≥0或f,(x)≤0建立导函数不等式或不等式组来求解。 例1，已知函数 ， ． （ⅰ）讨论函数 的单调区间；

（ⅱ）设函数 在区间 内是减函数，求 的取值范围． 解：（1） 求导：

∴当 时，得 ， 在 上递增 而当 时， 求得两根为 即 在 递增， 递减， 递增

（2）又∵ 在区间 内是减函数， ∴

∴ ，且 解得： 法二：令 ≤0 ∴a≥ ∵x∈ 令g(x)=

当x=- 时，g(x)大= ，则

注：此法也是恒成立问题常用的，具体可参看下一例。 类型二，利用最值求解不等式恒成立问题

求解恒成立时，可以使用分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范

围。这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决。 例2，已知函数f(x)=ln2(1+x)- . (i) 求函数 的单调区间;

（ⅱ）若不等式 对任意的 都成立（其中e是自然对数的底数）.求 的最大值.

解: （ⅰ）函数 的定义域是 ，

一般地，利用最值分离参数法来确定不等式恒成立中参数取值范围的基本步骤:

（1）将参数与变量分离，即化为a≥f(x)或a≤f(x)的形式； （2）求f(x)的最大（或最小）值即可。 类型三，单调性证明不等式问题

一般构造函数利用单调性。要证f(x)>g(x),可构造h(x)=f(x)-g(x),利用h（x）的单调性,证h(x)>0成立。 利用函数单调性证明此不等式：ln x＜x＜ex,x＞0 证明ln x＜x 设f(x)=lnx-x，(x>0) 令f(x)=1/x-1＝0，x=1

当00，当x>1时，f(x)1,指数函数单调增，∴elnxx1，对数函数单调增，∴lnxlnx0 ∴函数 (x)=g(x)－f(x) = －8x+6ln x+m的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7， 15-6ln 3）. （分析草图见下

图1）

方法总结：给定条件范围内构造新的函数，然后通过讨论新的构造函数的单调性，找到构造函数的增减区间，得极值，进而画出图像分析交点即得根的情况。

以上这些方法可帮助我们解题的时候找到方向，为了应用起来更方便，总结导数应用的口诀如下： 已知极值求参数， 待定系数来帮忙 单调区间上求参数，导数非负不能忘 恒成立问题要解决，逆用最值是关键 方程的根有几个， 结合极值看图像 证明不等式诀窍， 构造函数是良方。 [参考文献]

1.《高中新教材导教导学》，北京师范大学出版社，2003年4月 2．《数学通讯》，2004年11月