2019届高考数学（理）大一轮课时跟踪检测[45]空间点、直线、平面之间的位置关系（含答案）

课时跟踪检测(四十五) 空间点、直线、平面之间的位置关系

第Ⅰ组：全员必做题

1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( ) A．一定平行 C．一定是异面直线

B．一定相交 D．一定垂直

2．(2018·聊城模拟)对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( ) A．平行 C．垂直

B．相交 D．互为异面直线

3．(2018·广州模拟)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．(2018·新乡月考)已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( ) A．与a，b都相交

B．只能与a，b中的一条相交 C．至少与a，b中的一条相交 D．与a，b都平行

5．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则( ) A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面

6.(2018·三亚模拟)如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF为( )

A.C.3 63 3

B．－D．－

3 63 3

面ABC，AB＝BC＝AA1，的角是( ) 的平面互相垂直，且所成的角的余弦值

7.(2018·沧州模拟)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成

A．45° C．90°

B．60° D．120°

8．(2018·临沂模拟)过正方体ABCD -A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作( )

A．1条

B．2条

C．3条 D．4条

9．如图，平行六面体ABCD -A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．

10.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，个正四面体中，

①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角； ④DE与MN垂直． 以上四个

11．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．

EF，EC的中点，在这

(第11题图) (第12题图)

12．如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________． 第Ⅱ组：重点选做题

1．A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点， (1)求证：直线EF与BD是异面直线；

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．

2．(2018·许昌调研)如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与11

角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD

22

(1)求证：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？

四边形ABCD都是直的中点．

答 案

第Ⅰ组：全员必做题

1．选D ∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.

2．选C 不论l∥α，l?α还是l与α相交，α内都有直线m使得m⊥l. 3．选A 若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立．

4．选C 若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，则a∥b，与a，b异面矛盾． 5．选B 对于A，若正确，则l∥m，这与已知矛盾，由此排除A；对于B，由于l和m有且只有一条公垂线a，而过P有且只有一条直线与直线a平行，故B正确；易知C、D不正确．

6.选A 延长CD至H.使DH＝1，连接HG、HF、则HF∥AD. HF＝DA＝8， GF＝6，HG＝10. ∴cos ∠HFG＝ 8＋6－102×6×8

＝3. 6

AC的中点H，连接知GH＝HB＝GB＝

7．选B 连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在三角形GHB中，易2

a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°. 2

8．选D 如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的正切值都为2.联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱都相等，

∵BB1∥AA1，BC∥AD，

的角都相等，所成角BC，BA，BB1所成的角

∴体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1，A1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．

9．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1

相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．

答案：5

10．解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN. 答案：②③④

11．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．

答案：3

12．解析：∵A′C′∥AC， ∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC. ∵OC⊥OB，AB⊥平面BB′CC′，

∴OC⊥AB.又AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO. 又OA?平面ABO，∴OC⊥OA. 在Rt△AOC中，OC＝sin∠OAC＝

OC1＝， AC2

2

，AC＝2， 2

∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°. 答案：30° 第Ⅱ组：重点选做题

1．解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所盾．故直线EF与BD是异面直线．

(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，所以相交直线EF异面直线EF与BD所成的角．

1

在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，

2

求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°. 2．解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD， 11

所以GH綊AD.又BC綊AD，

22故GH綊BC.

所以四边形BCHG是平行四边形． (2)C，D，F，E四点共面．理由如下： 1

由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，

2所以EF綊BG.

由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面． 又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．

与EG所成的角，即为从而DF与BE共面，在平面外的一点相矛