江苏省南通市第一中学高一上学期期末数学试题(解析版)

【详解】

（1）因为f?x??log11?ax的图象关于原点对称， x?12所以f（x）为奇函数， 所以f（x）+f（﹣x）=0， 即log1??1?ax??1?ax?????0， x?1?x?1???2?所以1﹣a2x2=1-x2， 即x2（a2﹣1）=0， 所以a=﹣1或a=1（舍去）， 所以f（x）=log12x?1?log1（1?2），定义域为（﹣∞，﹣1）U（1，+∞）. x?1x?12所以f（x）的增区间是（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），无减区间. （2）关于x的方程f?x??log1?x?k?在[2，3]上有解，

2即log12x?1?log1（x+k）在[2，3]上有解， x?12x?1x?1?x+k，得k??x， x?1x?1x?1?x，x∈[2，3]， 令g（x）?x?12?x在x∈[2，3]上单调递减，且f（2）=1，f（3）=﹣1， 则g（x）=1?x?1即

所以k的取值范围是[﹣1，1]. 【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性和单调性及对数方程有解问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

20．如图在直角坐标系中，?AB的圆心角为与?AB交于点C． 3?，?AB所在圆的半径为1，角θ的终边2第 13 页 共 18 页

uuuruuur（1）当C为?AB的中点时，D为线段OA上任一点，求OC?OD的最小值；

（2）当C在?AB上运动时，D，E分别为线段OA，OB的中点，求CE?DE的取值范围.

【答案】（1）

uuruuur21212；（2）[?，?].

42422【解析】(1)根据题意设D（t，0）（0?t?1）,C（?的坐标，再利用模的公式求解.

（2）设OC?（cosα，sinα），E（0，?uuuruuur22，），表示出向量OC?OD22uuuruuur11），D（，0），分别表示出向量CE与向

221?2sin（α?）?，再用三角函数的

442量DE的坐标，由数量积公式得到CE?DE?图象和性质求解. 【详解】

(1)设D（t，0）（0?t?1）,C（?uuuruuruuur22，）， 22uuuruuur22∴OC?OD?（t?，），

22uuuruuur2221）?，（0?t?1）， OC?OD=（t?22第 14 页 共 18 页

uuuruuur22∴t?时，OC?OD的最小值为.

22113?，E（0，?），D（，0），

222uuuruuur111∴CE?（﹣cosα，??sinα），DE?（?，?），

222（2）设OC?（cosα，sinα），0?α?uuuruuuruuur111?12∴CE?DE?cosα?sinα??sin（α?）?，

4224423?， 2??7?∴?α??， 444∵0???∴sin（α?∴

?）∈[﹣1，1]， 41?21212sin（α?）?∈[?，?].

4442422uuruuur1212∴CE?DE的取值范围是：[?，?].

4242【点睛】

本题主要考查了向量的坐标表示，模的求法，数量积运算以及三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力，属于中档题.

21．如图，有一块矩形草坪ABCD，AB=100m，BC=503m，欲在这块草屏内铺设三条小路OE、EF和OF，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°.

（1）设∠BOE=α，试求△OEF的周长l关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路的铺设费用均为400元/m，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用. 【答案】（1）l?50?sin??cos??1?cos?sin?，??[

??，]；（2）当BE=AE=50米时，铺63路总费用最低，最低总费用为40000（2?1）元.

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【解析】（1）在Rt△BOE中，求得OE?再根据∠EOF=90°，利用勾股定理求得

5050，在Rt△AOF中，求得0F?，cos?sin?EF?OE2?OF2?(50250250，然后求得周长.结合图形，)?()?cos?sin?cos?sin?当点F在点D时，角α最小，点E在点C时，角α最大，求得定义域.

（2）根据题意，铺路总费用最低，则△OEF的周长l的最小，即求

l?50?sin??cos??1?cos?sin?，α∈[

??，]，的最小值. 63【详解】

（1）在Rt△BOE中，OB=50，∠B=90°，∠BOE=α∴OE?在Rt△AOF中，OA=50，∠A=90°，∠AFO=α，∴0F?又∠EOF=90°，∴EF?OE2?OF2?∴l=OE+OF+EF?即l?50， cos?50， sin?(50250250， )?()?cos?sin?cos?sin?505050??， cos?sin?cos?sin?，

50?sin??cos??1?cos?sin?当点F在点D时，角α最小，此时求得??得???6；当点E在点C时，角α最大，此时求

?3，

??，]； 63故此函数的定义域为[

（2）由题意可知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可， 由（1）得，l?50?sin??cos??1?cos?sin?，α∈[

??，]， 63t2?1设si nα+cosα=t，则sin??cos??，

2l?50?sin??cos??1?cos?sin?50?t?1?100?2?t?1t?1， 2所以

因为α∈[

5??7???????，]，所以，

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