江苏省南通市第一中学高一上学期期末数学试题(解析版)

【点睛】

通过向量共线去得出关于?的三角函数关系式，再综合三角恒等变形中齐次式的运用，使得做题达到事半功倍的效果．

uuuruuuruuuuruuur15．△ABC中，点M是边BC的中点，AB?3，AC?2，则AM?BC?_____.

【答案】?uuuur1uuuruuuruuuruuuruuur【解析】由点M是边BC的中点，得到AM?（AB?AC），又BC?AC?AB，

2再用数量积公式求解. 【详解】

因为点M是边BC的中点，

5 2uuuur1uuuruuur所以AM?（AB?AC），

2uuuruuuruuur又因为BC?AC?AB，

uuuuruuur1uuuruuuruuuruuur51uuuruuur?所以AM?BC?（AB?AC）（AC?AB）?（AC2?AB2）??，

222故答案为：?【点睛】

本题主要考查了向量的表示及数量积运算，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

16．已知函数f?x??2sin?2x?5. 2??????1在区间[a，b]（a，b∈R，且a

10? 3【解析】根据题意，令（fx）=2sin（2x???7??k?）﹣1，解得零点为x??k?或x?41232??，，再根据f（x）在[a，b]上至少33（k∈Z），易知相邻的零点之间的间隔依次为含有8个零点，来确定b﹣a的最小值. 【详解】

?）﹣1， 3?令f（x）=0，则2sin（2x?）﹣1=0，

3?1所以sin（2x?）?，

23因为函数f（x）=2sin（2x?第 9 页 共 18 页

解得：x??4?k?或x?因为相邻的零点之间的间隔依次为

7??k?（k∈Z）， 122??3，

3，

所以若f（x）在[a，b]上至少含有8个零点， 则b﹣a的最小值为3?故答案为：【点睛】

本题主要考查了三角函数的零点，还考查了数形结合的思想和推理论证的能力，属于中档题.

三、解答题

17．已知集合A?{x|m?1?x?2m?3}，函数f(x)?lg?x?2x?8的定义域为

22??10??4??， 33310?. 3??B．

（1）当m?2时，求AUB、eRA?B； （2）若AIB?A，求实数m的取值范围．

??}；(2) 【答案】(1) A?B?{x|?2?x?7}，eRAIB?{x|?2?x?1?????,?4?????1,?1??． 2?【解析】（1）根据题意，由m?2可得A?{x|1?x?7}，由并集定义可得AUB的值，由补集定义可得eRA?{x|x?1或x?7}，进而由交集的定义计算可得eRA?B，即可得答案；

（2）根据题意，分析可得A?B，进而分2种情况讨论：①、当A??时，有

???m?1?2m?3?，分别求出m的取值范围，进而对m?1?2m?3，②当A??时，有?m?1??2?2m?3?4?其求并集可得答案． 【详解】

根据题意，当m?2时，A?{x|1?x?7}，

f(x)?lg??x2?2x?8?有意义，则?x2?2x?8?0，得B?{x|?2?x?4}，

则A?B?{x|?2?x?7}，

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}； 又eRA?{x|x?1或x?7}，则eRAIB?{x|?2?x?1（2）根据题意，若AIB?A，则A?B， 分2种情况讨论：

①当A??时，有m?1?2m?3，解可得m??4， ②当A??时，

???m?1?2m?3?1若有A?B，必有?m?1??2，解可得?1?m?，

2?2m?3?4?综上可得：m的取值范围是：???,?4????1,?． 【点睛】

本题考查集合间关系的判定，涉及集合间的混合运算，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力. 18．已知函数fx??1?2????6x2?x?1

（1）求f（x）的零点；

（2）若α为锐角，且sinα是f（x）的零点.

tan??????cos????（ⅰ）求

的值； ???cos?????sin??????2?（ⅱ）求sin????????的值. 6?【答案】（1）,?1313?22；（2）（ⅰ）3；（ⅱ） . 26【解析】（1）令fx

???6x2?x?1?0，解一元二次不等式即可.

（2）由α为锐角，得sin??和的正弦公式求解. 【详解】 （1）令fx解得x?1.（ⅰ）利用诱导公式将原式化简再求值. （ⅱ）由两角3???6x2?x?1?0，

11或x??，

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所以函数的零点是

11 和? . 32（2）因为α为锐角， 所以sin??1. 3tan??????cos????（ⅰ）

???cos?????sin??????2??tan??cos?1??3. sin??sin?sin?（ⅱ） 由α为锐角，所以cos??22， 3所以sin???【点睛】

????132213?22.. ??????6?32326本题主要考查了函数的零点，三角函数化简求值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

19．已知f?x??log11?ax的图象关于原点对称，其中a为常数. x?12（1）求a的值，并写出函数f（x）的单调区间（不需要求解过程）； （2）若关于x的方程f?x??log1?x?k?在[2，3]上有解，求k的取值范围.

2【答案】（1）?1，f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上是单调增函数；（2）[﹣1，1].

【解析】（1）根据f?x??log11?ax的图象关于原点对称，得到f（x）是奇函数， x?12?1?ax??1?ax?log则f（x）+f（﹣x）=0，恒成立，即1?????0恒成立，化简为x2（a2

x?1???x?1?2?﹣1）=0求解.根据a的值，f（x）=log12x?1?log1（1?2），再利用复合函数的x?1x?12单调性确定单调区间.

x?1?log1（x+k）（2）关于x的方程f?x??log1?x?k?在[2，3]上有解，即log122x?12在[2，3]上有解，转化为k?∈[2，3]值域即可.

x?1x?1?x，在[2，3]上有解，再求得g（x）??x，xx?1x?1第 12 页 共 18 页