平面几何初步知识

圆的知识点总结（九下）

一、圆的概念了解

1、圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫圆。 2、圆的确定：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 二：圆的性质

1、对称性（轴对称图形，中心对称图形）

2、概念了解：①圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（优弧和劣弧） ②连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径 ③在同圆或等圆中，能够重合的弧 ④顶点在圆心的角是圆心角

⑤顶点在圆周上，它的两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角叫圆周角 ⑥从圆心到弦的距离是圆心距

3、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的弧（优弧和劣弧） 推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 总结：①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧 五个中任意两个作为条件，其它则为结论

辅助线：构造弦心距、半径、弦长一半的直角三角形 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等

4、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦（或两弦的弦心距）中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等

5、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论：1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 推论：2直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

推论：3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 注意:一条弦所对的圆周角有两种情况：（相等或互补） 辅助线：构造直径所对圆周角

6、圆心角度数定理：圆心角的度数和它所对弧的度数相等

7、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 8、确定圆的条件定理：不在同一直线上的三点确定一个圆 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆 和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆 外心：三角形三边垂直平分线的交点

外心的位置：锐角三角形在三角形内部，直角三角形在直角顶点，钝角三角形在三角形外部 内心：三角形三条角平分线的交点（三角形的内部）

直角三角形：R?c ；r?a?b?c（R是外接圆的半径，r是内切圆的半径）

22等边三角形：R?3；3 ar?a369、与圆有关的位置

①点与圆的位置关系（点在圆内，点在圆上，点在圆外） ②直线与圆的位置关系（相离，相切，相交）

方法：比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系

(1)直线L和⊙O相交 d＜r （2）直线L和⊙O相切 d=r （3）直线L和⊙O相离 d＞r

1

③圆与圆的位置关系（内含，内切，相交，外切，外离） 方法：比较半径的和与差与圆心距的大小关系

注意分类讨论：相切（内切和外切）和相离（内含和外离） 大圆半径记为R,小圆半径记为r，圆心距记为d（R>r）

内含：0?d?R?r 内切：d=R-r 相交：R-rR+r 10、切线的性质与判定

①切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

补充切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等 ②切线的判定：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 （2）圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 （3）经过直径的一端（或半径的外端），并且垂直于这条直径（或半径）的直线是圆的切线 补充弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 11、圆中常见的辅助线 ①解决直线圆的相切：（1）作半径，证垂直（2）作垂直，证半径 ②解决两圆相切：连连心线（两圆相切，连心线通过切点） ③解决两圆相交：连公共弦（连心线垂直平分公共弦） 12、与圆有关的计算公式： 1、 圆的周长、面积

n?R21n?r2、 扇形的弧长l? 面积：S??lR

18036023、弓形的面积

S弓形?S扇形?S等腰三角形

4、圆锥的侧面积、全面积 S侧

??rl S全??rl??2r

n?360r222 h?l?r（l母线,r底面的半径，h圆锥的高） l13、易错题型

①圆锥或扇形有关的应用问题

（1）直角三角形的旋转（注意旋转轴）（2）扇面问题（3）涂漆问题 （4）材料问题（进一法）（5）最短问题（先展开，再求圆心角） ②滚圆问题

s沿直线或曲线滚动 n? (s圆心轨迹的长度，R滚圆的半径，n自身滚动圈数)

2?R

平面几何初步知识（七上）

1、 直线与点的位置：点在直线上，点在直线外（直线可向两方无限延伸） 2、 直线公理：经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线） 3、 同一平面内两条不同直线的位置关系： ① 两条直线无公共点，即平行(k1?k2,b1?b2)

② 两条直线有一个公共点，即两条直线相交，这个公共点叫两条直线的交点

2

（一）相交线的性质： （1） 对顶角相等 （2） 两条直线垂直k1k2??1

（3） 垂线的性质：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

② 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

（4） 了解点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度 （5） 了解两点间的距离：连接两点的线段的长度 性质：两点之间，线段最短

应用：和最小，同侧找对称点；差最大，异侧找对称点

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上 (二)①平行线的性质

两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补

垂直于两平行线中的一条，那么也垂直于另一条

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 平行线间的距离处处相等 ②平行线的判定

同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行

垂直于同一条直线的两条直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行 4、 （1）了解角的概念： ① 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线分别叫做角的边 ② 一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角，射线的端点是角的顶点，射线旋

转的初始位置和终止位置分别是角的两条边 (2)角的表示

①用三个大写字母表示，注意把顶点字母写在中间 ②用一个大写字母表示，注意顶点处只有一个角时 ③用一个数字或希腊字母来表示 （3）角的分类 锐角（0???900） 直角 ??900 钝角900???1800

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做角的平分线 （4）角的度量

度量单位：度、分、秒 进制为60

（5）角的性质:同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等

（6）从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做角的平分线 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

角平分线的判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 （7）七巧板的组成：等腰直角三角形（5个）正方形（1个）平行四边形（1个）

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三角形（七下、九上）

1、了解三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 2、三角形边角之间的关系：

（1）三角形三个内角的和等于180°（注意书上的证明方法在八下第238页） （2）三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边

（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；大于任何一个和它不相邻的内角 3、三角形的分类：

按边分类为：三角形 不等边三角形

等腰三角形 底与腰不等的等腰三角形 等边三角形

按角分类为：三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形

4、三角形中的四条特殊线段：高线、中线、角平分线和中位线

三角形的三条角平分线交于一点、三条中线交于一点、三条高所在的直线交于一点

了解三角形高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段（会画钝角三角形的高线）

三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段

三角形的中位线平行于第三边，且等于底边的一半（注意证明方法九上89） 5、全等三角形：（对应顶点的字母写在对应的位置上） （1）了解定义：能够完全重合的两个三角形

（2）性质：对应边相等，对应角相等，对应角平分线、中线、高线相等，对应周长相等，对应面积相等 （3）判定：边边边、边角边、角边角、角角边、直角三角形的斜边直角边（HL） 利用三角形测距离：阅读七下173 6、等腰三角形：（转移线段、角的有力工具） （1）定义：有两条边相等的三角形 性质：①等边对等角

②顶角的平分线，底边的中线，底边上的高线互相重合（三线合一）

③等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高线相等，底边上的任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高，底边延长线上任意一点到两腰距离差的绝对值等于一腰上的高 判定：①定义 ②等角对等边 （2）等边三角形

性质：具有等腰三角形的一切性质 三个角都相等，三条边都相等 判定：（1）三条边都相等的三角形 （2）三个角都相等的三角形

（3）有一个角等于60°的等腰三角形 7、直角三角形：

定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 性质：（1）直角三角形中两锐角互余

（2）直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半

（3）在直角三角形中，如果有一个直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30° （4）直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 （5）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

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