线性规划在物流运输中数学模型及应用

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上升了，最近，该城市建立了一个新的港口，所以可以考虑使用水运的方式来运输其中的一部分木材。但是这种方式却需要公司要在水运方面进行投资。除了这些投资成本之外，使用火车运输木材的成本（单位：千美元每板英尺），沿着每一条路线使用轮船来运输木材（如果这个方式可行的话）的成本如下表所示： 表一

使用火车运输单位成本（千美元） 1 2 3 表二

使用轮船运输单位成本（千美元） 1 2 3 1 35 31 26 2 24 28 36 3 24 32 4 31 5 38 33 33 1 66 56 47 2 45 60 63 3 55 49 61 4 61 69 59 5 72 78 66 沿着每一条路线用轮船每年运输每100万板英尺，如下表所示：需要对轮船进行的资金注入（单位：千美元）

表三

对于向市场运输木材的轮船的单位资金投入（千美元） 1 2 3 1 285 286 240 2 238 270 275 3 - 250 268 4 275 293 - 5 303 318 283 考虑到轮船的预计使用期限和货币的时间价值，年成本大约就是表中所列数值的1/10。公司的目标是要制定出一个全面运输计划，使总年成本最小（包括运输成本）。现在，公司管理科学小组的负责人分别制定出了三个能够使年成本最小的运输计划。

方案1：继续使用火车运输木材，并仅使用此方式。

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方案2：仅使用轮船运输木材（只能使用火车的地方除外）。

方案3：根据在每一条特定地路线上哪种方式的运输成本比较低来选择使用火车还是轮船运输木材。

求出能使运输成本最低的从各木材资源区到各个市场的运输数量及最低的运输成本。这是一个典型的运输问题，分别就三个不同的方案进行估计，看哪个方案的总运输成本最低，并且用电脑软件可以很快得到一个最优解决方案。

首先，运用线性规划用代数的形式来建立它的数学模型。

假设xij(i?1,2,3;j?1,2,3)为从每个木材资源区到每个市场的运输数量，目标是为了找出能使总运输成本最低的从每个木材资源区到每个市场的运输数量。

方案1： 目标函数：

c?66x11?45x12?55x13?61x14?72x15?56x21?60x22?49x23?69x24?78x25?47x31?63x32?61x33?59x34?66x35约束条件是：

?66x11?45x12?55x13?61x14?72x15?1500?56x?60x?49x?69x?78x?20002122232425??47x31?63x32?61x33?59x34?66x35?1500??x11?x12?x13?800? ?x21?x22?x23?900?x?x?x?10003233?31?x41?x42?x43?1100?x?x?x?12005253?51??xij(i?1,2,3;j?1,2,3)?0运用电子表格进行线性规划求解可以很快得出使用火车到达各市场的木材公司最低的运输单位成本的最优值，如表四：

表四 运输量 1 2 3 总需求 1 0 800 0 800 2 900 0 0 900 3 0 1000 0 1000 4 600 200 300 1100 5 0 0 1200 1200 总产量 1500 2000 1500 21

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由此可知，继续使用火车来运输木材，最低的运输成本为28160 万美元。资源区1 到市场2 的运输量为900 万英尺，资源区1 到市场4 的运输量为600 万英尺，资源区2 到市场1 的运输量为800 万英尺，资源区2 到市场3 的运输量为1000 万英尺，资源区2 到市场4 的运输量为200 万英尺，资源区3 到市场4 的运输量为300 万英尺，资源区3 到市场5 的运输量为1200 万英尺。

方案2：

由于考虑到轮船的预计使用期限和货币的时间价值，年成本大约就是表三中所列数值的1/10。所以，对于向市场运输木材的轮船的单位资金投入（千美元） 如表五

单位资金投入（千美元） 1 2 3 1 28.5 28.6 24 2 23.8 27 27.5 3 25 26.8 4 27.5 29.3 5 30.3 31.8 28.3 因此，对于向市场运输木材的轮船的单位总成本（千美元）如表六 表六 单位总成本 1 2 3 1 63.5 57.5 50 目标函数:

2 47.8 55 63.5 3 55 49 58.8 4 58.5 65.3 59 5 68.3 74.8 61.3 c?63.5x11?47.8x12?55x13?58.5x14?68.3x15?57.5x21?55x22?49x23?65.3x24?74.8x25?50x31?63.5x32?58.8x33?59x34?61.3x35约束条件是：

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?63.5x11?47.8x12?55x13?58.5x14?68.3x15?1500?57.5x?55x?49x?65.3x?74.8x?20002122232425??50.x31?63.5x32?58.8x33?59x34?61.3x35?1500??x11?x12?x13?800? ?x21?x22?x23?900?x?x?x?10003233?31?x41?x42?x43?1100?x?x?x?12005253?51??xij(i?1,2,3;j?1,2,3)?0运用电子表格进行线性规划求解可以很快得出使用轮船到达各市场的木材公司最低的运输单位成本的最优值，如表七：

表七 运输量 1 2 3 总需求 1 0 500 300 800 2 900 0 0 900 3 0 1000 0 1000 4 600 500 0 1100 5 0 0 1200 1200 总产量 1500 2000 1500 由此可知，仅使用轮船来运输木材（只能使用火车的地方除外），最低的运输成本为27708 万美元。资源区1 到市场2 的运输量为900 万英尺，资源区1 到市场4 的运输量为600 万英尺，资源区2 到市场1 的运输量为500 万英尺，资源区2 到市场3 的运输量为1000 万英尺，资源区2 到市场4 的运输量为500 万英尺，资源区3 到市场1 的运输量为300 万英尺，资源区3 到市场5 的运输量为1200 万英尺。

方案3：

因为要根据运输成本最低来确定使用火车或轮船，所以重新所选择的单位成本如表八： 表八 单位成本 1 2 3 1 63.5 56 47 2 45 55 63 3 55 49 58.5 第 23 页 共 27 页

4 58.5 65.3 59 5 68.3 74.8 61.3 23