2007年高考数学试题分类汇编10 - 立体几何

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（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面

ABCD．

因为SA?SB，所以AO?BO，

又∠ABC?45?，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO， 由三垂线定理，得SA⊥BC．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC， 故SA⊥AD，由AD?BC?22，SA?SO?1，SD?S 2，得 3，AO?11．

C △SAB的面积S1?O 1?1?2AB?SA??AB??2?2?122B

2．D?A

连结DB，得△DAB的面积S2?AB?ADsin135?2

设D到平面SAB的距离为h，由于VD?SAB?VS?ABD，得

13h?S1?13SO?S2，

解得h?2．

hSD2112211设SD与平面SAB所成角为?，则sin????．

所以，直线SD与平面SBC所成的我为arcsin解法二：

2211．

（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面

ABCD．

因为SA?SB，所以AO?BO．

又∠ABC?45，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB． 如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O?xyz， A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，????0?1)， 2，0)，S(0，0，1)，SA?(2，，?z S ???????????CB?(0，22，0)，SA?CB?0，所以SA⊥BC．

?22?（Ⅱ）取AB中点E，E?，，0?，

?2?2??G C D A O E B y

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连结SE，取SE中点G，连结OG，G??21，，?442?2?． ????2?221?2?0)． OG??，，?，SE??，，1?，AB?(?2，2，?4???42?2??2?SE?OG?0，AB?OG?0，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直．

所以OG?平面SAB，OG与DS的夹角记为?，SD与平面SAB所成的角记为?，则?与

?互余．

22，1)． D(2，22，0)，DS?(?2，cos??OG?DSOG?DS?2211，sin??2211，

所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin2211．

28．（全国Ⅱ?理?19题）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。

(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；(Ⅱ)设SD = 2CD，求二面角A－EF－D的大小；

P A

F D

D A E

B C O C B

第38题图

解法一：

第39题图

（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．

∥连结AG，FG 12∥AB， CD，又CD ∥AE，AEFG为平行四边形． 故FG 《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》

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EF∥AG，又AG?平面SAD，EF?平面SAD．

所以EF∥平面SAD．

△ADG为等 （2）不妨设DC?2，则SD?4，DG?2，腰直角三角形．

取AG中点H，连结DH，则DH⊥AG．

又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB?AG?A， 所以DH⊥面AEF．

取EF中点M，连结MH，则HM⊥EF． 连结DM，则DM⊥EF．

故?DMH为二面角A?EF?D的平面角

tan?DMH?DHHM?21?2．

z S F 2．

所以二面角A?EF?D的大小为arctanG 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D?xyz． 设A(a， 0)，C(0，a，0)，0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，?a?E?a，，0?，F2???????bEF???a，0，2??ab??0，，?， ?22???． ??????b??，则AG??a，0，???．

2???M D A x E B A C y b?取SD的中点G?0，0，2?????????EF?AG，EF∥AG，AG?平面SAD，EF?平面SAD，

所以EF∥平面SAD．

（2）不妨设A(1，1，0)，C(0，1，0)，S(0，0，2)，E?1，，0?，F?0，，1?． 0，0)，则B(1，?2??2???1??????????11?????111?????EF中点M?，，?，MD???，?，??，EF?(?1，0，，1)MD?EF?0，MD⊥EF

22??222??2?1??1??????????????1?又EA??0，?，0?，EA?EF?0，EA⊥EF，

2???????????所以向量MD和EA的夹角等于二面角A?EF?D的平面角．

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??????????????????MD?EA3． cos?MD，EA????????????3MD?EA所以二面角A?EF?D的大小为arccos33．

π，斜边AB?4．Rt△AOC可

6以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B?AO?C是直二面角．动点D的斜边

AB上．

29．（北京?理?16题）如图，在Rt△AOB中，?OAB?（I）求证：平面COD?平面AOB；

（II）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小； （III）求CD与平面AOB所成角的最大值． 解法一：

（I）由题意，CO?AO，BO?AO， ??BOC是二面角B?AO?C是直二面角， 又?二面角B?AO?C是直二面角， ?CO?BO，又?AO?BO?O， ?CO?平面AOB， 又CO?平面COD．

?平面COD?平面AOB．

E?OB（II）作D，垂足为E，连结CE（如图），则DE∥AO， ??CDE是异面直线AO与CD所成的角．

1在Rt△COE中，CO?BO?2，OE?BO?1，

2E D

A

O C B

?CE?CO?OE12AO?22?5．

又DE?3．

?在Rt△CDE中，tanCDE?CEDE?53?153．

?异面直线AO与CD所成角的大小为arctan153．

（III）由（I）知，CO?平面AOB，

??CDO是CD与平面AOB所成的角，且tanCDO?OCOD?2OD．

当OD最小时，?CDO最大， 这时，OD?AB，垂足为D，OD?OA?OBAB?3，tanCDO?233，

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