必修一数学压轴试题（附解析）

22．（本小题满分12分）

已知x满足不等式2(log1x)2?7log1x?3?0，

22求f(x)?log2解析：

xx?log2的最大值与最小值及相应42x值．

由2(log1x)2?7log1x?3?0，∴?3?log1x??，∴

222121?log2x?3， 2而f(x)?log2xx?log2?(log2x?2)(log2x?1) 4231?(log2x)2?3log2x?2?(log2x?)2?，

2431当log2x?时f(x)min??

24此时x=2=22，

32当log2x?3时f(x)max?

91??2，此时x?8． 4421．（14分）已知定义域为R的函数f(x)?（1）求a值；

?2x?a2x?1是奇函数

（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性； （3）若对任意的t?R，不等式f(tk2?2t)?f(2t?k)?0恒成立，求实数

2的取值范围；

x解析：

1?2（1）由题设，需f(0)??12?a?0,?a?1，?f(x)?1 ?2x经验证，f(x)为奇函数，?a?1---------（2分） （2）减函数--------------（3分） 证明：任取x1,x2?R,x1?x2,?x?x2?x1?0， 由（1）?y?1?221?21f(x2)?f(x1)?1??x2?21?2x1xx2(2x1?2x2)(1?2x1)(1?2x2)

?x1?x2,?0?2x1?2x2,?2x1?2x2?0,(1?2x1)(1?2x2)?0

1

??y?0

?该函数在定义域R上是减函数--------------（7分）

（3）由f(t2?2t)?f(2t?k)?0得f(t?2t)??f(2t?k)，

222?f(x)是奇函数

，f(x)是减函数 ?f(t2?2t)?f(k?2t2)，由（2）

?原问题转化为t2?2t?k?2t2，

即3t2?2t?k?0对任意t?R恒成立------（10分）

???4?12k?0,

得k??1即为所求--- ---(14分)

320、（本小题满分10分）

已知定义在区间(?1,1)上的函数f(x)?(1) 求实数a,b的值；

(2) 用定义证明:函数f(x)在区间(?1,1)上是增函数； (3) 解关于t的不等式f(t?1)?f(t)?0. 解析： (1)由f(x)?ax?b为奇函数,且 21?xax?b12f()?为奇函数,且.

1?x225a?b122f()?? 21?(1)252则

a??bx1122f(?)???f()??，解得：a?1,b?0。?f(x)?1?x221?(?1)2252

(2)证明：在区间(?1,1)上任取x1,x2，令?1?x1?x2?1,

x1x2x1(1?x22)?x2(1?x12)(x1?x2)(1?x1x2) ?f(x1)?f(x2)???222222(1?x1)(1?x2)1?x11?x2(1?x1)(1?x2)? ?1?x1?x2?1 ? x1?x2?0 ,1?x1x2?0 ?f(x1)?f(x2)?0

, (1?x12)?0, (1?x22)?0

即f(x1)?f(x2)

故函数f(x)在区间(?1,1)上是增函数. (3) ?

f(t?1)?f(t)?0 ? f(t)??f(t?1)?f(1?t)

2

? 函数f(x)在区间(?1,1)上是增函数

1). 2?t?1?t1?? ??1?t?1 ?0?t?

2??1?1?t?1?故关于t的不等式的解集为(0,21．(14分)定义在R?上的函数f(x)对任意实数a,b?R?,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x>1时,f(x)<0， (1)求f(1)

(2)求证：f(x)为减函数

(3)当f(4)= -2时，解不等式f(x?3)?解析：

（1）由条件得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0

（2）法一：设k为一个大于1的常数，x∈R+，则 f(kx)=f(x)+f(k)

因为k>1，所以f(k)<0，且kx>x

所以kx>x,f(kx)

法二：设x1,x2??0,???且x1?x2令x2?kx1,则k?1

f(x1)?f(x2)?f(x1)?f(kx2)?f(x1)?f(k)?f(x2)??f(k)

f(5)??1

有题知，f(k)<0

?f(x1)?f(x2)?0即f(x1)?f(x2)

所以f(x)在（0，+?）上为减函数 法三：设x1,x2??0,???且x1?x2

f(x1)?f(x2)?f(x1)?f(x1?x2x)??f(2)x1x13

?x2x?1?f(2)?0 x1x1?f(x1)?f(x2)?0即f(x1)?f(x2)

所以f(x)在（0，+?）上为减函数

22、（本小题满分12分）已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x-2bx+(b≥1)，

2

b4(I)求f(x)的最小值g(b)； (II)求g(b)的最大值M。 解析：

f(x)=(x-b)-b+的对称轴为直线x＝b（ b≥1），

2

2

b4(I) ①当1≤b≤4时，g(b)＝f(b)＝-b+; ②当b＞4时，g(b)＝f(4)

2

b4＝16-31b，

4综上所述，f(x)的最小值

?2b?b? (1≤b≤4)??4 。g(b)＝?

31?16?b (b＞4)??42

(II) ①当1≤b≤4时，g(b)＝-b+＝-(b-)+

2

b4181， 64∴当b＝1时，

M＝g(1)＝-； ②当b＞4时，g(b)＝16--，

综上所述，g(b)的最大值M= -。 22、（12分）设函数

f(x)?loga(x?3a)(a?0,且a?1)，当点P(x,y)是函数

343131b是减函数，∴g(b)＜16-×4＝-15＜

443434y?f(x)图象上的点时，点Q(x?2a,?y)是函数y?g(x)图象上的点.

（1）写出函数y?g(x)的解析式；

4