第2次课 有理数相关概念

七上数学第2次课 有理数及其运算

知识点回顾

一、 有理数的概念及其分类

1、有理数：整数和分数统称为有理数。

有理数两种分类方法：

注意：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。 三要素：原点、正方向、单位长度

注意：（1）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但反过来，不能说数轴上的所有点都表示有理数。

（2）正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，0用原点表示。数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数要大。

3、相反数：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，特别的，0的相反数是0。数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点两侧，并且与原点的距离相等。

4、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫该数的绝对值。

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。用字母a表示一个有理数，则

注意：（1）绝对值是它本身的数是正数和0，绝对值是它相反数的数是负数和0。用字母表示：

（2）互为相反数的两个数的绝对值相等。 （3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

二、 有理数的加法、减法、加减混合运算

1、加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加仍得这个数；互为相反数的两个数相加得0。 结果定两项：（1）确定符号（2）确定绝对值

注意：多个有理数相加时，一般结合加法交换律、结合律先把具有以下特征的数相加：

（1）互为相反数的两个数； （2）符号相同的数； （3）相加能得到整数的数； （4）分母相同的数

2、减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 注意：两变：一是改变运算符号；二是改变减数的性质符号；

3、加减混合运算：对于只有加减法的式子里，可以从左到右依次计算，有括号的先算括号里面的，也可以根据减法法则把加减法统一成加法，再根据加法法则计算。

简便方法：一般写成省略加号和括号的和的形式，再根据加法的交换律和结

合律进行运算。

4、乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘. （2）任何数与0相乘，积仍为0.

注意：几个有理数相乘，因数不为0时，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时积为负，当负因数有偶数个时积为正。几个因数中只要有一个因数为0，积就为0。

5、除法法则：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并将它们的绝对值相除。. （2）0除以任何非0的数都得0. 注意：0不能作除数

6、乘方：求几个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫做幂。

注意：（1）乘方是乘法运算的特殊情况，同样计算时应先确定符号，再计算幂的绝对值；

（2）0的任何次幂都是0，-1的奇次幂为-1，-1的偶次幂为1； （3）任何数的偶次幂都为非负数.

7、科学记数法：一般地，一个大于10的数可以表示成a?10n的形式，其中1?a?10，n是正整数，(n=原数的整数位数－1)这种记数的方法叫做科学记数法（10的n次幂表示1后面有n个0）.

8、有理数混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。

注意：（1）加减法叫第一级运算，乘除法叫第二级运算，乘方和开方叫第三级运算.

一个式子中如果含有三级运算时，先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一级运算.同一级运算按照从左到右的先后顺序进行运算；有括号时按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运算.（2）灵活地运用运算律改变运算顺序，可简化计算.

七上数学第2次课 有理数相关概念

【类型一】有理数、数轴

例题1. 下面的说法中，正确的是（ ）

A、整数和分数统称为有理数 B、正数和负数统称为有理数 C、正整数和负整数统称为整数 D、0不是有理数 练习1.1 下列对有理数的理解错误的是（ ）

A、正数和分数统称为有理数 B、整数和分数统称为有理数 C、整数包括正整数、0和负整数三部分 D、正分数一定是有理数 练习1.2 下列语句正确的是（ ）

（1）不带“-”号的数都是正数；（2）如果a是正数，那么-a一定是负数； （3）不存在既不是正数也不是负数的数；（4）0℃表示没有温度 A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 例题2. 把下列各数分别填在相应的集合内：

?2、3.14、+8、1、-2014、0、-3.6

332正有理数集合：（ ??） 负有理数集合：（ ??） 分数集合：（ ??） 负整数集合：（ ??） 练习2. 把下列各数分别填在相应的大括号内：

?1、3、7.8、-0.01、223、2002、-15、0、4?21

3正数集合：（ ??） 负数集合：（ ??） 整数集合：（ ??） 分数集合：（ ??）

例题3. （1）高出海平面8842m记作海拔 m，低于海平面423m记作 海拔 m；（2）如果规定向东为正，那么向西走5.1m记作 m； （3）收入10元记作+10元，那么支出20元记作 元.

练习3.1 如果+3表示向南运动3，那么-2表示什么？原地不动记作什么？某人先向

北运动5，又回头向南运动7，那么他实际距原地多少米？可记作什么？

练习3.2 工厂中生产零件，在生产图纸上常标注着如20?0.01，请说明这是什么意思？如果生产的零件尺寸为19.95，符不符合标准？

例题4. 如图所示，所画的数轴中正确的是（ ）p44(三点)

练习4. 刚学了数轴后，小马虎就画了下列四条“数轴”，其中表示正确的是（ ） P15（实验）

例题5. 在数轴上画出下列各点，并把它们用“<”连接起来. +3、0、?31、11、-3、-1.25

42

练习5.1 根据下面给出的数轴，解答下面的问题:

（1）请你根据图中两点A、B的位置，分别写出它们所表示的有理数. （2）请问两点A、B之间的距离是多少？

练习5.2 在数轴上，一只蚂蚁从原点0出发，它先向右爬了2个单位长度到达点A，再向右爬3个单位长度达到B，然后向左爬了9个单位长度到达C点. (1)写出A、B、C三点表示的数；

（2）根据C点在数轴上的位置回答蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行几个单位长度？

练习5.3 在数轴上有三个点，怎样移动其中的两点，使三个点表示的数相同？

【类型二】绝对值、相反数

例题6. 若甲、乙两数的绝对值相等，则甲乙两数的关系是（ ） A、相等 B、互为相反数 C、相等或互为相反数 D、不能确定

练习6.1 一个数的绝对值等于3，这个数是（ ）A、3 B、-3 C、±3 D、1

3练习6.2 绝对值大于2且小于5的所有有理整数的和是 ；绝对值小于9的所有有理整数的积是 .

练习6.3 下列结论正确的有（ ）A、2个 B、3 个 C、4个 D、5个 （1）任何数都不等于它的相反数；（2）符号相反的数互为相反数；（3）表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等；（4）若有理数a，b互为相反数，那么a+b=0；（5）若a，b互为相反数，则它们一定异号.

例题7. 已知有理数a 、b满足?a?3?2?b?2?0，求a+b的相反数.

练习7.1 已知a?1??b?2?2?0，求?a?b?2013的值是 . 练习7.2 已知a?3?b?2?0，求2a+b的值.

练习7.3 若2x?6?3?y?0,则x? .

y

7.4 已知?a?2?2?b?3?c?1?0，求ba?ac的值.

例题8. 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求2x2?x?2a?2bcdcd的值.

练习8.1 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是1，求

?1?x的值. 2??a?b?cd?x?dc

练习8.2 如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，那么a+b+m2

-cd的值为 . 强化练习：

1.已知︱a︱=2，︱b︱=5，且a >b，试求a 、b的值.

2. 已知a??3，则a= ；若p?3?0，则p= .

3. 当a <0时，化简

a等于（ ） A、1 B、-1 C、0 D、±1 a4.若b <0，且a=︱b︱，则a与b的大小关系是 .

5.如图所示，0是原点，三点所表示的数分别是.根据图中各点的位置，下列各数的绝对值的比较正确的是（ ）

A、bc C、ac

6.出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的人民大街进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程如下：（单位:km） +15、-3、+14、-11、+10、-12、+4、-15、+16、-18 汽车耗油量为0.1L/km，则这天下午汽车共耗油多少？