2012届高考数学一轮复习 12.2 总体期望值和方差的估计教案

而s=

2

148［（x1+x2+?+50+100+?+x48）－48x］=75， ［（x1+x2+?+80+70+?+x48）－48x］

2

2

2

2

2

2

2

2

222222

s′2=

=

148148［（75×48+48x－12500+11300）－48x］

120048=75－=75－25=50.

答案：B

2

3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm）： 品种 甲 乙 15x乙=

第1年 9.8 9.4 第2年 9.9 10.3 第3年 10.1 10.8 第4年 10 9.7 第5年 10.2 9.8 其中产品比较稳定的小麦品种是_______. 解析：x甲=

151（9.8+9.9+10.1+10+10.2）=10，

（9.4+10.3+10.8+9.7+9.8）=10，

22222s甲2=［（9.8－10）+（9.9－10）+（10.1－10）+（10－10）+（10.2－10）］=0.02，

522222s乙2=［（9.4－10）+（10.3－10）+（10.8－10）+（9.7－10）+（9.8－10）］=0.244.

15所以，甲比乙稳定. 答案：甲

4.为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转化关系式为Z=

x?xs（其中x是某位学生的考试分数，x是该次考试的平均分，s是该次考试的

标准差，Z称为这位学生的标准分）.转化成标准分后可能出现小数和负值，因此，又常常再将Z分数作线性变换转化成其他分数.例如某次学生选拔考试采用的是T分数，线性变换公式是T=40Z+60.已知在这次考试中某位考生的考试分数是85分，这次考试的平均分是70分，标准差是25，则该考生的T分数为___________.

解析：由已知Z=

85?7025=

35，∴T=40×

35+60=24+60=84.故考生成绩的T分数为84.

答案：84

5.已知两家工厂，一年四季上缴利税情况如下（单位：万元）： 季 度 甲 厂 乙 厂 一 70 55 二 50 65 三 80 55 四 40 65 试分析两厂上缴利税的情况.

解：甲、乙两厂上缴利税的季平均值分别为

x甲=

1414（70+50+80+40）=60， （55+65+55+65）=60；

x乙=

- 5 -

甲、乙两厂上缴利税的方差为

s甲2=s乙2=

1414［（70－60）+（50－60）+（80－60）+（40－60）］=250， ［（55－60）+（65－60）+（55－60）+（65－60）］=25.

2

2

2

2

2222

经上述结果分析，两厂上缴利税的季平均值相同，但甲厂比乙厂波动大，导致它们生产

出现的差异大，乙厂不同季节的缴税量比较接近平均值，生产稳定，而甲厂不稳定.

培养能力

6.某校从甲、乙两名优秀选手中选拔1名参加全市中学生百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，成绩如下表： 选手成绩（s） 甲 乙 1 12.1 12 2 12.2 12.4 3 13 12.8 4 12.5 13 5 13.1 12.2 6 12.5 12.8 7 12.4 12.3 8 12.2 12.5 根据成绩，请你作出判断，派哪位选手参加更好，为什么？ 解：x甲=12.4=x乙，s甲=0.12，s乙≈0.10，

∴甲、乙两人的平均成绩相等，但乙的成绩较稳定，应派乙选手参加比赛.

7.某农场为了从三种不同的西红柿品种中选取高产稳定的西红柿品种，分别在五块试验田上试种，每块试验田均为0.5公顷，产量情况如下： 品 种 1 2 3 15x2=

2

2

产量（kg） 1 21.5 21.3 17.8 2 20.4 18.9 23.3 3 22.0 18.9 21.4 4 21.2 21.4 19.1 5 19.9 19.8 20.9 问：哪一品种的西红柿既高产又稳定？ 解：x1=

1515（21.5+20.4+?+19.9）=21，

（21.3+18.9+?+19.8）=21， （17.8+23.3+?+20.9）=20.5，

x3=

s1=0.756， s2=1.104， s3=1.901.

由x1=x2>x3，而s1

8.甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸分别为（单位：mm）：

甲：10.2 10.1 10.9 8.9 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1 乙：10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9.7 10.2 10 分别计算上面两个样本的平均数与方差，如果图纸上的设计尺寸为10 mm，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适？

- 6 -

解：x甲=

x乙=

110（10.2+10.1+?+10.1）=10，

1101（10.3+10.4+?+10）=10，

［（10.2－10）+（10.1－10）+?+（10.1－10）］=0.03， ［（10.3－10）+（10.4－10）+?+（10－10）］=0.06.

2

2

2

2

2

2

s甲2=s乙2=

10110由上述结果分析，甲台机床加工这种零件稳定，较合适.

探究创新

9.有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下： ［12.5，15.5），6；［15.5，18.5），16；［18.5，21.5），18；［21.5，24.5），22；［24.5，27.5），20；［27.5，30.5），10；［30.5，33.5），8.

（1）列出样本的频率分布表； （2）画出频率分布直方图； （3）估计数据小于30.5的概率. 解：（1）样本的频率分布表如下： 分 组 12.5～15.5 15.5～18.5 18.5～21.5 21.5～24.5 24.5～27.5 27.5～30.5 30.5～33.5 合 计 （2）频率分布直方图如下图. 频 数 6 16 18 22 20 10 8 100 频 率 0.06 0.16 0.18 0.22 0.20 0.10 0.08 1.00 （3）数据大于等于30.5的频率是0.08，∴小于30.5的频率是0.92.∴数据小于30.5的概率约为0.92.

探究：解决总体分布估计问题的一般程序如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率（频率=

频数总数）；（3）画出频率

分布直方图，并作出相应的估计. 注意直方图与条形图的区别. ●思悟小结

1.用样本估计总体，除在整体上用样本的频率分布估计总体分布外，还可以用平均值和方差对总体进行估计，即用样本平均数x去估计总体平均数μ；用样本方差s去估计总体的

2

- 7 -

方差σ，进一步对总体的分布作出判断.

2.进行几次实验，得到样本数据x1，x2，?，xn，设c是任意常数，k为任意的正数，作变换yi=

1k2

（xi－c）（i=1，2，?，n），则有：①x=ky+c；②sx=ksy.

222

●教师下载中心 教学点睛

1.期望反映数据取值的平均水平，期望越大，平均水平越高. 2.方差反映数据的波动大小，方差越小，表示数据越稳定. 拓展题例

【例1】 如果数据a1，a2，?，a6的方差是6，那么另一组数据a1－3，a2－3，?，a6－3的方差是多少？

解：设a1，a2，?，a6的平均数为a，则（a1－3），（a2－3），?，（a6－3）的平均数为a－3，∴方差为s=

2

16{［（a1－3）－（a－3）］+?+［（a6－3）－（a－3）］}=6.

110101022

【例2】 已知样本方差由s=

1n2

?（xi－5）

i?12

求得，求∑?xi.

i?1解：依s==

1n2

2

［（x1－x）+?+（xn－x）］

2

2

22

［x1+x2+?+xn－nx］知，

110102

∴

10?xi=5.∴?xi=50.

i?1i?1 - 8 -