2012届高考数学一轮复习 12.2 总体期望值和方差的估计教案

12.2 总体期望值和方差的估计

●知识梳理

1.平均数的计算方法

（1）如果有n个数据x1，x2，?，xn，那么x=数，x读作“x拔”.

（2）当一组数据x1，x2，?，xn的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，?，xn′=xn－a，那么，x=x? +a.

（3）加权平均数：如果在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，?，xk出现fk次（f1+f2+?+fk=n），那么

x=

1n（x1+x2+?+xn）叫做这n个数据的平均

x1f1?x2f2???xkfkn.

2.方差的计算方法

（1）对于一组数据x1，x2，?，xn，s=做这组数据的方差，而s叫做标准差.

（2）公式s=

2

2

1n［（x1－x）+（x2－x）+?+（xn－x）］叫

222

1n［（x1+x2+?+xn）－nx］.

2222

（3）当一组数据x1，x2，?，xn中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，?，xn′=xn－a.

则s=

2

1n［（x1′+x2′+?+xn′）－nx?2］.

222

3.总体平均值和方差的估计

人类的长期实践和理论研究都充分证明了用样本的平均数估计总体平均值，用样本方差估计总体方差是可行的，而且样本容量越大，估计就越准确.

●点击双基

1.描述总体离散型程度或稳定性的特征数是总体方差，以下统计量估计总体稳定性的是

A.样本均值x

B.样本方差

C.样本最大值 D.样本最小值 解析：统计学的基本思想是用样本来估计总体.因此选B. 答案：B

2.甲、乙两人在相同的条件下，射击10次，命中环数如下： 甲：8，6，9，5，10，7，4，8，9，5； 乙：7，6，5，8，6，9，6，8，7，7.

根据以上数据估计两人的技术稳定性，结论是

A.甲优于乙 B.乙优于甲 C.两人没区别 D.两人区别不大 解析：x甲=

110（8+6+?+5）=7.1，x乙=

110（7+6+?+7）=6.9.

- 1 -

s甲2=s乙2=

110110［（8－7.1）+?+（5－7.1）］=3.69， ［（7－6.9）+?+（7－6.9）］=1.29.

2

2

22

∴乙优于甲.

答案：B

3.样本a1，a2，a3，?，a10的平均数为a，样本b1，b2，b3，?，b10的平均数为b，那么样本a1，b1，a2，b2，?，a10，b10的平均数为

A.a+b

B.D.

12（a+b） （a+b）

C.2（a+b）

110解析：样本a1，a2，a3，?，a10中ai的概率为Pi，样本b1，b2，b3，?，b10中bi的概率为Pi′，样本a1，b1，a2，b2，a3，b3，?，a10，b10中ai的概率为qi，bi的概率为qi′，则Pi=2qi，故样本a1，b1，a2，b2，a3，b3，?，a10，b10的平均数为a1q1+b1q1′+a2q2+b2q2′+?+a10q10+b10q10′=

12（a1P1+?+a10P10）+

12（b1P1′+

12b2P2′+?+b10P10′）=

2112（a+b）.

答案：B

4.电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得到数据如下（单位：h）：30，35，25，25，30，34，26，25，29，21.则该电池的平均寿命估计为___________，方差估计为___________.

解析：x==

110110（30+35+25+25+30+34+26+25+29+21）

（0+5－5－5+0+4－4－5－1－9）+30=28，

1s2=

2

［（30－28）+（35－28）+（25－28）+（25－28）+（30－28）+（34－28）+（26

2

2

2

222222

10－28）+（25－28）+（29－28）+（21－28）］

=

110（4+49+9+9+4+36+4+9+1+49）=17.4.

答案：28 17.4 ●典例剖析

【例1】 x是x1，x2，?，x100的平均数，a是x1，x2，?，x40的平均数，b是x41，x42，?，

x100的平均数，则下列各式正确的是

A.x=

40a?60b100 B.x=D.x=

60a?40b100

C.x=a+b 12 a?b2

剖析：这100个数的平均数是a+b还是（a+b），这都很容易让人误解.我们可以从概率

及加权平均数的角度来思考.

设Pi是x1，x2，?，x100中xi被抽到的概率，qi是x1，x2，?，x40中xi被抽到的概率，ri - 2 -

是x41，x42，?，x100中xi被抽到的概率，则Pi=

x=

40100qi，Pi=

60100ri.故x1，x2，?，x100的平均数

6010040100（x1q1+x2q2+?+x40q40）+

60100（x41r41+?+x100r100）=

40100a+b.

答案：A

评述：除上述解法外，你还有其他解法吗？

特别提示 除了上述方法外，我们还可以先分别求出x1+x2+?+x40=40a，x41+x42+?+x100=60b，再求x. 【例2】 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：环） 甲 乙 10 10 8 10 9 7 9 9 9 9 如果甲、乙两人只有1人入选，则入选的应是___________.

剖析：判断谁入选，首先应考虑选手的成绩是否稳定.因此分别求其方差. 甲的平均数为x1=乙的平均数为x2=

1515（10+8+9+9+9）=9， （10+10+7+9+9）=9，

2

甲的方差为s甲=（10－9）×乙的方差为s乙=（10－9）×

2

1515+（8－9）×

2

15=

2515， =

65×2+（7－9）×

2

.

s乙＞s甲，说明乙的波动性大，故甲入选.

答案：甲

评述：方差的大小可看出成绩的稳定性，平均数的大小可看出成绩的高低.

【例3】 某班40人随机分为两组，第一组18人，第二组22人，两组学生在某次数学检测中的成绩如下表： 分 组 第一组 第二组 求全班的平均成绩和标准差. 剖析：代入方差公式s=

2

平均成绩 90 80 1n标准差 6 4 ［（x1+x2+?+xn）－nx］即可求得.

2

2222

解：设全班的平均成绩为x，全班成绩的方差为s， 则s1=

2

118［（x1+x2+?+x18）－18×90］=36，

2

2

2

2

2222

s22=

122［（x19+x20+?+x40）－22×80］=16.

140∴x=（90×18+80×22）=

2

2

2

16922

=84.5，

2

2

2

s2=

140［（x1+x2+?+x18）+（x19+x20+?+x40）－40·x］

- 3 -

===

140140140［18×（36+8100）+22×（16+6400）－40×（146448+141152－10×169） ×1990=49.75.

19922

16942］

∴s=≈7.05.

评述：平均成绩应为总成绩除以总人数，而总成绩可由每组成绩之和求得. 【例4】 已知c为常数，s=

2

1n［（x1－x）+（x2－x）+?+（xn－x）］，sc=

2222

1n［（x1－

c）2+（x2－c）2+?+（xn－c）2］.证明：s2≤sc2，当且仅当c=x时，取“=”.

剖析：证明sc≥s，可证明sc－s≥0.因此应用方差公式进行变形即可. 证明：∵s==

1n22

2

2

2

2

1n［（x1－x）+?+（xn－x）］

2

2

22

［（x1+x2+?+xn）－nx］，

1n2

sc2=

=

1n［（x1－c）+（x2－c）+?+（xn－c）］

2

2

2

2

222

［（x1+x2+?+xn）－2c（x1+x2+?+xn）+nc］，

2

2

2

∴sc－s=x－

2

2cn（x1+x2+?+xn）+c

2

2

=x－2c·x+c=（x－c）≥0. ∴sc≥s，当且仅当x=c时取“=”.

评述：作差是比较大小的常用手段.

●闯关训练 夯实基础

2

1.一组数据的方差为s，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得到的一组新数据的方差是

A.

122

2

2

s2 B.2s

2

2

C.4s

2

D.s

2

解析：由方差公式易求得新数据的方差为4s. 答案：C

2.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是

A.70，25 B.70，50 C.70，1.04 D.65，25

解析：易得x没有改变，x=70，

- 4 -