排列组合知识点总结

排列组合 二项式定理

1，排列

排列定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 排列数定义；从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有排列的个数Amn 公式 m=n!An(n?m)! 规定0！=1 2，组合 组合定义 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 m 组合数 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合个数 Cn Cmn!n=

m!(n?m)!

Cmn?mmm性质 n=Cn

Cn?1?Cn?Cm?1n

3，分类计数原理:完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）

分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法. 排列组合题型总结 直接法 1 .特殊元素法

例1:用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个?

（1）数字1不排在个位和千位

（2）数字1不在个位，数字6不在千位。 分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择A25，其余2位有四个可供选择

A24，由

乘法原理：

A2A254=240

2．特殊位置法

（2）当1在千位时余下三位有

A35=60，1不在千位时，千位有A114种选法，个位有A4种，余下的有A214，共有AA1244A4=192

所以总共有192+60=252

二 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接

法A46?2A325?A4=252

例1:有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数C335?23?A3个，其中0在百位的

有

C222?A24?2个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数

C335?23?A3-C2224?2?A2=432

例2:三个女生和五个男生排成一排

女生必须全排在一起 有多少种排法（ 捆绑法）

女生必须全分开 （插空法 须排的元素必须相邻） 两端不能排女生 两端不能全排女生

如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？

分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有

A1?A1910=100中插入方法。

捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放

法有 种（

C234A3）

,2，某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学

校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（C1?A192928）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C129其余的就是19所学校选28天进行排列） 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法 例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。 分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有C711种 五 平均分推问题 eg 6本不同的书按一下方式处理，各有几种分发？ 平均分成三堆， 平均分给甲乙丙三人 一堆一本，一堆两本，一对三本 甲得一本，乙得两本，丙得三本（一种分组对应一种方案） 一人的一本，一人的两本，一人的三本 分析：1，分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有A33=6种，C226种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有6C4C2而这2A3=15种 32，六本不同的书，平均分成三堆有x种，平均分给甲乙丙三人 就有xA32223种 C6C4C2 123 3， C6C5C3 5，A31233C6C5C3

一． 合并单元格解决染色问题

Eg 如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。

分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5． 下面分情况讨论:

(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 ①③⑤的全排列数A44 （ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得A44 种着色法． （ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格 ①

从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有C34?A33种方法． 由加法原理知：不同着色方法共有2A44?C334A3=48+24=72（种）