2020版新高考二轮复习理科数学专项小测16 “17～19题”+“二选一”+Word版含解析

专项小测(十六) “17～19题”＋“二选一”

时间：45分钟 满分：46分

17．(12分)

已知数列{an}为正项数列，且∈N*.

(1)求证：{bn}为等比数列；

2

(2)若a1＝1，求数列{an}的前n项和Sn. 2

an22

解：(1)由nan＝4·， ＋1－4(n＋1)an＝0，得nn＋1

22

nan＋1－4(n＋1)an＝0，令

an

bn＝，n

n

a2n＋1

因为an>0，所以

an＋1

an

＝2·.

nn＋1

(2分)

bn＋1an

又bn＝，所以bn＋1＝2bn，因此b＝2.

nn故数列{bn}是公比为2的等比数列． a1(2)b1＝＝1，所以结合(1)可得bn＝2n－1，

1an

2

即＝2n－1，所以an＝n·2n－1，因此an＝n·4n－1.

n于是Sn＝1＋2×4＋3×42＋…＋n×4n－1，

(4分) (5分) (6分) (8分)

所以4Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)×4n－1＋n×4n， 1－4n

以上两式相减得，－3Sn＝1＋4＋42＋…＋4n－1－n·4n＝－n·4n

1－4?1－3n?·4n－1＝. 3

?3n－1?·4n＋1

故Sn＝. 9

(11分) (12分)

18．(12分)

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC且AD⊥AB，AB＝BC＝2AD＝4，△PAB是等边三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，E是PB的中点，点M在棱PC上．

(1)求证：AE⊥BM；

(2)若M为PC的中点，求平面DME与平面PDC所成锐二面角的余弦值．

解：(1)因为AD∥BC且AD⊥AB，所以BC⊥AB.

(1分)

又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面PAB，

因此BC⊥AE.

(2分)

因为△PAB是等边三角形，E是PB的中点，所以AE⊥PB. 又BC∩PB＝B，所以AE⊥平面PBC， 又BM?平面PBC，故AE⊥BM.

(4分)

(2)解法一：如图，以AB的中点O为坐标原点，OB，OP所在直线分别为x轴、z轴，过点O且平行于BC的直线为y轴，建立空间直角坐标系，

→＝(－2,2，则O(0,0,0)，D(－2,2,0)，P(0,0,23)，C(2,4,0)，所以PD

→＝(2,4，－23)． －23)，PC

(5分)

→＝0，?n1·PD设平面PDC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则由?

→＝0，PC?n1·

可

?－2x1＋2y1－23z1＝0，

得?

?2x1＋4y1－23z1＝0，

取x1＝1，则y1＝－2，z1＝－3，

所以n1＝(1，－2，－3)是平面PDC的一个法向量． (7分) 因为B(2,0,0)，E是PB的中点，所以E(1,0，3)． 因为M为PC的中点，所以M(1,2，3)， →＝(3，－2，3)，DM→＝(3,0，3)． 于是DE

设平面DME的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， →＝0，?n2·DE则由?

→＝0，DM?n2·

(8分)

?3x2－2y2＋3z2＝0，

可得?

?3x2＋3z2＝0，

取x2＝1，则y2＝0，z2＝－3，

所以n2＝(1,0，－3)是平面DME的一个法向量． |n1·n2||1＋0＋3|2

所以|cos〈n1，n2〉|＝＝＝2. |n1||n2|22×2

2

故平面DME与平面PDC所成锐二面角的余弦值为2. (12分) 解法二：因为M为PC的中点，E是PB的中点， 1

所以EM∥BC，EM＝2BC＝2，

由题意得AD⊥AP，所以PD＝AD2＋AP2＝

(10分)

(5分)

22＋42＝25，

因为PB⊥BC，所以PC＝又DC＝PB2＋BC2＝42＋42＝42，

AB2＋?BC－AD?2＝25，

(7分)

所以PD＝DC，又M为PC的中点，所以DM⊥PC. 易知DM＝AE＝23，AD⊥AE， 所以DE＝

AD2＋AE2＝

22＋?23?2＝4，

所以DM2＋EM2＝DE2，因此DM⊥EM， (9分)

因此∠PME就是平面DME与平面PDC所成锐二面角的平面角．

又EM∥BC，所以∠PME＝∠PCB＝45°， 2所以cos∠PME＝2. 2

故平面DME与平面PDC所成锐二面角的余弦值为2. (12分) 19．(12分)

在一次市联考中，某校高三年级500名学生的英语成绩(不含听力，满分120分)的频率分布直方图如图所示，用样本的频率作为概率．

(10分)

(1)从所有成绩中随机抽取n个，全部在[80,120]内的概率不小于0.4，求n的最大值；

(2)由频率分布直方图可认为学生成绩z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和考生成绩的方差s2，估计该校500名学生的成绩超过99.31分(含99.31分)的人数；(结果四舍五入，取整数)