2020高中数学 第2章 推理与证明 2.1.3 推理案例赏析(1)学案 苏教版选修1-2

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2.1.3 推理案例赏析

[学习目标] 1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力．

[知识链接]

1．归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？

答 归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向． 2．类比推理的结论是否一定正确？

答 从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证． 3．合情推理与演绎推理有何异同之处？

答 合情推理是从特殊到一般，思维开放，富于创造性，但结论不一定正确，是一种或然推理．演绎推理是从一般到特殊，思维收敛，较少创造性，当前提和推理形式都正确时，结论一定正确，是一种必然推理．

合情推理为演绎推理确定了目标和方向，而演绎推理又论证了合情推理结论的正误，二者相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程． [预习导引] 1．数学活动与探索

数学发现活动是一个探索创造的过程，是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程． 2．合情推理和演绎推理的联系

在数学活动中，合情推理具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，演绎推理为合情推理提供了前提，对猜想作出“判决”或证明，从而为调控探索活动提供依据．

要点一 运用归纳推理探求结论

379

例1 已知数列的前4项为，1，，，试写出这个数列的一个通项公式．

21017

35792×1＋12×2＋12×3＋1

解 把已知4项改写为，，，，记此数列的第n项为an，则有a1＝2，a2＝2，a3＝2，

2510171＋12＋13＋1

a4＝

2×4＋1

，…. 24＋1

2n＋1

据此猜测an＝2.

n＋1

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规律方法 运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化．

跟踪演练1 下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n个图形中小等边三角形的个数为________．

答案 n

解析 前4个图中小等边三角形的个数分别为1,4,9,16. 猜测：第n个图形中小等边三角形的个数为n. 要点二 运用类比推理探求结论

例2 Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则BC＝BD·BA(如图甲)．类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥P－ABC(如图乙)中，可得到什么结论？

2

2

2

解 如图，在三棱锥P－ABC中，作PO⊥平面ABC，

连结OB，OC，猜想下列结论：

S2△PBC＝S△OBC·S△ABC.

证明：连结AO，并延长交BC于D，连结PD.

PA⊥PB，PA⊥PC?PA⊥平面PBC.

∵PD?平面PBC，BC?平面PBC， ∴PA⊥PD，PA⊥BC.

∵PO⊥平面ABC，AD?平面ABC，BC?平面ABC， ∴PO⊥AD，PO⊥BC.∴BC⊥平面PAD. ∴BC⊥AD，BC⊥PD.

222S2△PBC＝(BC·PD)＝BC·PD，

1

214

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S△OBC·S△ABC＝BC·OD·BC·AD

12

＝BC·OD·AD. 4∵PD＝OD·AD， ∴S△PBC＝S△OBC·S△ABC.

规律方法 在类比推理中，要提炼两类事物的共同属性．一般而言，提炼的共同属性越本质，则猜想的结论越可靠．

跟踪演练2 如图，设△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，BC边上的高AD＝h.扇形A1B1C1中，＝l，半径为R，△

22

1212

?ABC的面积可通过下列公式计算： B1C1

1

(1)S＝ah；

21

(2)S＝bcsin∠BAC.

2

运用类比的方法，猜想扇形A1B1C1的面积公式，并指出其真假．

(1)________________________________________________________________________； (2)________________________________________________________________________． 1

答案 (1)S＝lR 真命题

212

(2)S＝RsinA1 假命题

2

要点三 运用演绎推理证明结论的正确性

例3 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N. (1)求证数列{an－n}是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn；

(3)求证不等式Sn＋1≤4Sn恒成立(n∈N)． (1)证明 由an＋1＝4an－3n＋1， 得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N. ∴

*

*

*

an＋1－(n＋1)*

＝4 (n∈N)．

an－n∴数列{an－n}是以a1－1，即2－1＝1为首项，以4为公比的等比数列． (2)解 由(1)可知an－n＝4∴Sn＝a1＋a2＋…＋an

＝(1＋4)＋(2＋4)＋…＋(n＋4

0

1

n－1

，∴an＝n＋4

n－1

.

n－1

)

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＝(1＋2＋…＋n)＋(1＋4＋…＋4＝

n－1

)

n(n＋1)1

21n＋·4－. 33

(n＋1)(n＋2)11n(n＋1)1n1n＋1

(3)证明 由(2)知，Sn＋1－4Sn＝＋·4－－4[＋·4－]

233233＝

(n＋1)(n＋2)(n－1)(3n＋4)*

－2n(n＋1)＋1＝－≤0，∴Sn＋1≤4Sn恒成立(n∈N)．

22

规律方法 演绎推理的一般形式是三段论，证题时要明确三段论的大前提、小前提和结论，写步骤时常省略大前提或小前提．

跟踪演练3 已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数． 证明 设x1，x2∈R，取x1

则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)， ∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0， [f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，

∵x10，f(x2)>f(x1)． ∴y＝f(x)为R上的单调增函

数.

1．一个数列的第2项到第4项分别是3，15，21，据此可以猜想这个数列的第一项是________． 答案

3

解析 ∵a2＝9＝6×2－3，

a3＝15＝6×3－3， a4＝21＝6×4－3，

∴猜想a1＝6×1－3＝3.

2．在平面中，圆内接平行四边形一定是矩形．运用类比，可猜想在空间有如下命题：________________________________________________________________________. 答案 球内接平行六面体一定是长方体

3*

3．设xi>0 (i∈N)，有下列不等式成立，x1＋x2≥2x1x2；x1＋x2＋x3≥3x1x2x3，…类比上述结论，对于n个正数x1，x2，…，xn，猜想有下述结论________________________________． 答案 x1＋x2＋…＋xn≥nx1x2…xn

4．已知a，b∈N，f(a＋b)＝f(a)f(b)，f(1)＝2，则答案 4028

*

nf(2)f(3)f(2015)

＋＋…＋＝________. f(1)f(2)f(2014)