线性代数（同济大学第五版）行列式讲义、例题

ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?0(i?j)

或

a1iA1j?a2iA2j???aniAnj?0(i?j)

§4行列式的计算

在计算三阶以上的行列式时,一般要注意观察其结构特点,利用行列式的有关性质,结合使用定义法、数学归纳法、递推法、换元法、析因子法、加边法等方法简化计算.

一、直接利用行列式定义的证明 例6 证明行列式

a11a12a13a14a15a21a22a23a24a25D?000a34a35?0 000a44a45000a54a55证 按行列式定义,每一项都是取自不同行不同列的5个元素的乘积,在第一列中只有两个非零元素a11和a21,当第一列取元素a11,第二列只能取a22,而第三列所能够取的元素只有零元素,故这一项为零.同理,当第一

第17页 列取a21时,这一项也为零.行列式其它项也都为零因子,所以D?0.

注 (1) 用n阶行列式的定义直接计算行列式是相当麻烦的,因此仅当一个行列式的每一行（列）上n个元素中有少数元素不为零,才用定义计算.其关键是处理好每一项前的符号,求出逆序数.一般方法是按行序排好,计算列排列的逆序数.

(2) 结论：在一个n阶行列式中,等于零的元素如果比(n2?n)还多,

那么这个n阶行列式必为零.

二、利用行列式的性质化成三角形行列式计算

abb?bbab?b例7 计算n阶行列式D?bba?b. ?????bbb?a解 这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等,根据行列式的性质,从第2列开始到第n列都加到第1列上得

a?(n?1)bbb?ba?(n?1)bab?bD?a?(n?1)bba?b?????a?(n?1)bbb?a 第18页

1bb?b1ab?b?[a?(n?1)b]1ba?b ?????1bb?a1bb?b0a?b0?0?[a?(n?1)b]0ba?b?0

?????000?a?b?[a?(n?1)b](a?b)n?1

注 行列式每行（列）元素的和相等时,可将行列式的各行（列）加至第一行（列）,利用行列式性质提取公因子后化简计算.

三、降阶法：利用行列式按行（列）展开定理,化成较低行列式的计算

例8 计算n阶行列式

123?n?1n1?10?00D02?2?00n???????.

000??(n?2)0000?n?1?(n?1) 第19页 解 注意到第2,3,?,n行的元素之和都是零,将第2,3,?,n列都加到第1列上去,然后按第1列展开,得：

n(n?1)223?n?1n0?10?00Dn?02?2?00

??????000??(n?2)0000?n?1?(n?1)?100?002?20?00?n(n?1)03?3?002??????

000??(n?2)0000?n?1?(n?1)?1?12(?1)n(n?1)!

四、递推公式法：应用行列式的性质,把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的线性关系式,再根据此关系式递推得n阶行列式的值.

第20页

a?xaa?a?yx0?0例9 计算n阶行列式Dn?0?yx?0????000??y解： 将行列式按第n列展开,可得

?yx?yxD1?nn?xDn?1?a(?1)??

x?y ?xDn?1n?1?ay

?Dn?xDn?1?ayn?1?x(xDn?2?ayn?2)?ayn?1???xn?1Dn?1?ayn?21?ayx???ayxn?2

?xn?a(yn?1?yn?2x???yxn?2)

注：此题可按第一行展开即得结果.

第21页

a00. ?x 320?00132?00例10 计算n阶行列式D013?00n???????.

000?32000?13解： 将行列式按第1列展开,可得

Dn?3Dn?1?2Dn?2 …….……(1)

设Dn?xDn?1?y(Dn?1?xDn?2) …….……(2) 比较（1）式与（2）式系数得3??x?y?

?xy?2所以?x?1?1或?x?y?2?2.

1?2?y2?1分别代入（2）式得

??Dn?Dn?1?2(Dn?1?D?2n?2)???2n(D2?D1)?2n?Dn?2Dn?1?(Dn?1?2Dn?2)???(D2?2D1)?1…….…

…(3)

其中D1?3,D2?7

消去(3)式中的Dn?1n?1得：Dn?2?1.

第22页

注 (1) 若行列式的某一行（列）至多有两个非零元素一般按此行（列）展开计算.

(2) 递推法是计算或证明高阶行列式的惯用方法,有时和数学归纳法结合使用.

五、用数学归纳法进行计算或证明. 例11 用数学归纳法证明

2cos?10?0012cos?1?00D00n?012cos?????????sin(n?1)?sin?000?2cos?1000?12cos?证明 当k?1时,

D2cos?sin?sin2?1?2cos??sin??sin?等式成立.

假设k?n?1时,等式成立,则只需证明当k?n时,等式也成立.

Dn按第一行展开有

2cos?10?0012cos?1?00D12cos??00n?2cos?0??????

000?2cos?1000?12cos? 第23页 110?0002cos?1?00?(?1)1?2012cos??00??????

000?2cos?1000?12cos??2cos?Dn?1?Dn?2.

根据归纳假设得：

D2cos?sinn?sin[(n?2)?1]?sin(n?1)?n?sin??sin??sin?.

例12 证明n阶行列式

?????0?001??????00D01????00?n?1??n?1n???????????(???)000??????000?1???证明 当n?1时,

2D??21????????????? 结论成立.

当n?2时,

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