空间向量在立体几何中的应用 - 图文

????????????易知A，DE=（0，-3，0），AD=（-3，3，0） 1B=（-3，3，-7）

设n=（x，y，z）是平面

A1DE的一个法向量，则

{uuuvn?DE??3y?0uuuuvn?A1D??3x?3y?7z?0

解得x??7z,y?0 3）于是 7,0,-3，

故可取n=（

uuuruuurn?ADcosn,AD?uuurn?AD=?3721??

84?23由此即知，直线AD和平面

A1DE所成的角是正弦为21 812．（本小题满分12分）

在四棱锥P?ABCD中，底面球心、

ABCD是矩形，PA?平面ABCD，PA?AD?4，AB?2. 以AC的中点O为

AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.

（1）求证：平面

ABM⊥平面PCD；

ACM所成的角的大小；

z（2）求直线CD与平面（3）求点N到平面方法二： （1）同方法一；

ACM的距离.

PMN?ADy?OBxC（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则

A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)， C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)；

?????????????2x?4y?0设平面ACM的一个法向量n?(x,y,z)，由n?AC,n?AM可得：?，令z?1，则

?2y?2z?0??????CD?n6n?(2,?1,1)。设所求角为?，则sin????????3CDn63，

所以所求角的大小为arcsin。

（3）由条件可得，AN?NC.在Rt?PAC中，PA2?PN?PC,所以PN?810NC5,则NC?PC?PN?, ?，33PC9，所以所求距离为

?????AP?n265所以所求距离等于点P到平面ACM距离的，设点P到平面ACM距离为h则h???39n5106h?927

19（本小题满分12分） 如图，正方形相垂直，△

。

ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互

ABE是等腰直角三角形，

AB?AE,FA?FE,?AEF?45?

（I）求证：EF?平面BCE；

（II）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM?平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并

证明你的结论；若不存在，请说明理由； （III）求二面角F?BD?A的大小。 (Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,

所以AE⊥AB.

又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE?平面ABEF, 平面ABEF∩平面ABCD=AB, 所以AE⊥平面ABCD.

所以AE⊥AD.

因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz. 设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 因为FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°.

11,). 22?????????11???所以EF?(0,?,),BE?(0,?1,1),BC?(1,0,0).

22????????????????11EF?BE?0???0,EF?BC?0.

22从而，F(0,?所以EF⊥BE, EF⊥BC.

因为BE?平面BCE,BC∩BE=B ,

所以EF⊥平面BCE.

(Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.

11 ), P ( 1, ,0 ). 22?????11 从而PM=(?1,?,),

22?????????1111于是PM·EF=(?1,?,)·(0,?,?)=0

2222 M ( 0,0,

所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，

故PMM∥平面BCE. ????????????8分

????(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为n1，并设n1=（x,y,z）.

uuuvBD?（，1?1，0） ，

uvuuuv?x?y?0??n1gBD?0?v?uvuuu1 即 ?3

?y?z?0???n1gBF?0?22???（11，，3）取y=1，则x=1，z=3。从而n1?。 ???（0，0，1）取平面ABD的一个法向量为n2?。

uuuv31 BF?（0，?，）22uvuuvuuvuuvn1gn23311。 cos(n1,n2)?uv?uuv?1111g1n1n2故二面角F—BD—A的大小为arccos

311。??????????????12分 1114.（本题满分14分） 如图，在直三棱柱

ABC?A1B1C1中，AA1?BC?AB?2,

AB?BC,求二面角B1?AC1?C1的大小。

简答：

?3