空间向量在立体几何中的应用 - 图文

设B(0,2, ZB)，ZB＞0，则ZA＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） . 在CD上取点G，设G（x1,y1,0），使GE⊥CD .

uuuvuuuvuuuvuuuv由CD?(2,?2,0),GE?(?x1,?y1?1,1),CD?GE?0故 2x1?2(y1?1)?0 ①

uuuvuuuvuuuvxy?2又点G在直线CD上，即CG//CD，由CG=（x1,y1?2,0），则有1?1

?22联立①、②，解得G＝(②

24,,0) 33,

uuuvuuuvuuuv22,?,1).又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量GE与向量DA所成的角，记此角为? . 故GE=(?33uuuv23uuuvuuuvuuuvuuuvGEDA?(0,0,1),DA?1,GE?DA?1,所以 因为=，3uuuvuuuvGE?DA3 cos??uu uvuuuv?2GE?DA故所求的二面角的大小为

?. 6作AG?BD于G，连GC，则GC?BD，?AGC为二面角A?BD?C的平面角，?AGC?60?.不妨设

AC?23，则AG?2,GC?4.在RT?ABD中，由AD?AB?BD?AG，易得AD?6. 设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所

成的角为?。利用得

11S?B1BC?DE?S?BCD?h，可求得h?23，又可求33sin??h1????30?. B1C2B1C?43

即B1C与平面BCD所成的角为30?.

分析二：作出B1C与平面BCD所成的角再行求解。如图可

证

得

B?面C，所以面AFED?面BDC。由分析一易知：四边形AFED为正方形，连AE、DF，并设交点

为O，则EO?面BDC，?OC为EC在面BDC内的射影。??ECO即为所求。以下略。

??????分析三：利用空间向量的方法求出面BDC的法向量n，则B1C与平面BCD所成的角即为B1C与法向量n的夹角的余

角。具体解法详见高考试题参考答案。

总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。

9．（本小题共14分）

如图，四棱锥P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，点E在棱PB上. （Ⅰ）求证：平面（Ⅱ）当PD?AEC?平面PDB； 2AB且E为PB的中点时，求AE与

平面PDB所成的角的大小.

【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系D?xyz， 设AB?a,PD?h,

则

A?a,0,0?,B?a,a,0?,C?0,a,0?,D?0,0,0?,P?0,0,h?，

????????????（Ⅰ）∵AC???a,a,0?,DP??0,0,h?,DB??a,a,0?，

????????????????∴AC?DP?0,AC?DB?0，

∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB， ∴平面

AEC?平面PDB.

（Ⅱ）当PD??112?a,a,a?2AB且E为PB的中点时，P0,0,2a,E?， ?22?2???? 设AC∩BD=O，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，

?????1??12????2?a,EO?0,0,?a? ∵EA??a,?a,?， ???2???22?2???????????∴cos?AEO????EAEA??EO????2EO??2， ∴?AOE?45?，即AE与平面PDB所成的角的大小为45?.

10.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分） 如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB//DC，∠BAD=

π2，CD=AD=2.，形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，FC=3，ED=7，求：

（Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离： （Ⅱ）二面角F-AD-E的平面角的正切值， 18.（本小题满分12分）

如图4，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?2AA

D是

A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE?AE。

（I） 证明平面ADE?平面ACC1A1

（II）

求直线

AD和平面ABC所成角的正弦值。

解 （I） 如图所示，由正三棱柱

ABC?A1B1C1的性质知AA1?平面A1B1C1

又DE?平面A1B1C1，所以DE?AA1. 而DE?AE。AA1?AE=A 所以DE?平面AC C1A1，又DE?平面ADE，故平面ADE?平面AC C1A1。

解法2 如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设 A A1=

2，则AB=2，相关各点的坐标分别是

四边

A(0,-1,0)， B（

3，0，0）， C1（0，1，2）， D（

3232，-

1，2）。 21，2） 2易知

AB=(3，1，0)， AC1=(0，2，2)， AD=(

，-

设平面ABC1的法向量为n=（x，y，z）,则有

?AB?3x?y?0,??n·??? ?AC1?2y?2z?0,??n·?解得x=-

33y， z=-

2y，

故可取n=(1，-

3，6)。

所以，cos(n·AD)=n·ADn·AD=2310?3=

105。

由此即知，直线AD和平面AB C1所成角的正弦值为11.（本小题满分12分） 如图3，在正三棱柱ABC-（Ⅰ）证明：平面

105。

A1B1C1中，AB=4, AA1=7,点D是BC的中点，点E在AC上，且DE?A1E

A1DE?平面ACC1A1;

A1DE所成角的正弦值。

（Ⅱ）求直线AD和平面

解法2 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各 点的坐标分别是A(2,0,0,),

A1.(2,0, 7), D(-1, 3), E(-1,0.0)