空间向量在立体几何中的应用 - 图文

【答案】4 ??1

说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。 3.（2010北京理）（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。的轨迹方程是

设顶点p（x，y）

y?f(x)，则f(x)的最小正周期为 ；y?f(x)在其

两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 【答案】4 ??1

动。沿?轴正方

说明：“正方形PABC沿?轴滚动”包括沿?轴正方向和沿?轴负方向滚

向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在?轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿?轴负方向滚动。 4.（2010四川文）（15）如图，二面角??l??的大小是60°，线段AB??.B?l，

AB与l所成的角为30°.则AB与平面?所成的角的正弦值是 . 34??B?A?【答案】

【解析】过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D 连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角??l??的平面角，为60°

又由已知，∠ABD＝30°连结CB，则∠ABC为AB与平面?所成的角

??B?AC D

?设AD＝2，则AC＝3，CD＝1

AB＝

ADsin300＝4

∴sin∠ABC＝

AC3?AB4

5.（2010湖北文数）14.圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的珠（球的面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm. 【答案】4

【解析】设球半径为r，则由3V球?V水?V柱可得3?半么与圆柱的底

43?r??r2?8??r2?6r,解得33r=4.

6.（2010湖南理数）13．图3中的三个直角三角形是一个体积为20cm的几何体的三视

图，则

h?

cm．

7.（2010湖北理数）13.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球

圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 【答案】4

【解析】设球半径为r，则由3V4球?V水?V柱可得3?3?r3??r2?8??r2?6r,解8.（2010福建理数）

12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 ．

【答案】6+23 【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为

的半径与cm。

得r=4.

2?3?4?23，侧面积为3?2?1?6，所以其表面积为6+23。 4【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。 三、解答题

1.（2010辽宁文）（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱ABC?（Ⅰ）证明：平面（Ⅱ）设D是

A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C?A1B

AB1C?平面A1BC1；

值.

A1C1上的点，且A1B//平面B1CD，求A1D:DC1的

解：（Ⅰ）因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C

又已知B1C所又B1C所以平面

?BC1

?A1B,且A1B?BC1?B

1

1

1

?平面ABC，又B1C?平面ABC ， AB1C?平面ABC .

1

1

（Ⅱ）设BC1交B1C于点E，连结DE，

2.（2010辽宁理）（19）（本小题满分12分）

已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N为AB上一点，PB,BC的中点.

（Ⅰ）证明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小. 证明：

设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空

间直角坐标系如图。 AB=4AN,M,S分别为

则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线， 因为A1B//平面B1CD，所以A1B//DE. 又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点. 即A1D：DC1=1.

则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,

??????1???11（Ⅰ）CM?(1,?1,),SN?(?,?,0),

222?????????11因为CM?SN????0?0，

22所以CM⊥SN ??6分

111），N（,0,0），S（1,,0）.??4分 222????1（Ⅱ）NC?(?,1,0),

2设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

1?x?y?z?0,??2令x?2，得a=(2,1,-2). ??9分 则?1??x?y?0.??21????2?2cosa,SN?223?2?1?因为

所以SN与片面CMN所成角为45°。 ??12分

3.（2010全国卷2文）（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AC=BC， AA1=AB，D为BB1的中

点，E为AB1上的一点，AE=3 EB1