空间向量在立体几何中的应用 - 图文

第三节 空间向量在立体几何中的应用

第一部分 六年高考荟萃

2010年高考题

一、选择题

1.（2010全国卷2理）（11）与正方体

ABCD?A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点

（A）有且只有1个 （B）有且只有2个 （C）有且只有3个 （D）有无数个 【答案】D

【解析】直线上取一点，分别作垂直于于

分

别

则作

，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PN⊥

PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.

PM⊥；

，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、

2.（2010辽宁理）(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是

(A)（0, (C) (【答案】A

6?2） (B)（1,22）

6?2,6?2） (D) （0,22）

【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。

【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=3，SD=a2?1，则有a2?1<2+3，即

a2?8?43?(6?2)2，即有a<6?2

(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时a>0; 综上分析可知a∈（0,6?2）

3.（2010全国卷2文）（11）与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点 （A）有且只有1个 （B）有且只有2个 （C）有且只有3个 （D）有无数个 【答案】D

【解析】：本题考查了空间想象能力

∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点， 4.（2010全国卷2文）（8）已知三棱锥S?ABC中，底面那么直线

ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，

AB与平面SBC所成角的正弦值为

34 (B) （A） 54

(C) 74 (D)

3 4【答案】D

【解析】：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。 过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连ABC，∴ E为BC中点，∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE，∴ BC⊥AF，AFSBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴ AE?3，S

BF，∵正三角形⊥SE，∴ AF⊥面

F C A

E AS=3，∴

B

33sin?ABF?4 SE=23，AF=2，∴

5.（2010全国卷1文）（9）正方体

ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为

62 （D）

33（A）

23 （B）

33 （C）

【答案】D

【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.

【解析1】因为BB1//DD1,所以BB1与平面ACD1所成角和DD1与平面ACD1所成角

D1 A1

D A

O B1

C1

相等,设DO⊥平面

C B

ACD1，由等体积法得VD?ACD111?VD1?ACD,即S?ACD1?DO?S?ACD?DD1.设DD=a,

331

则S?ACD1?1133211AC?AD1sin60???(2a)2??a,S?ACD?AD?CD?a2. 2222221

S?ACD?DD1DO3a336??a?所以DO?,记DD与平面ACD1所成角为?,则sin??,所以cos??S?ACD13DD1333a2【解析2】设上下底面的中心分别为

.

O1,O；

O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面

ACD1所成角，

cos?O1OD1?O1OOD1?1/32?63

6.（2010全国卷1理）（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为

(A)

234383 (B) (C) 23 (D) 333

7.（2010全国卷1理）（7）正方体ABCD-

A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为

（A）

23 （B）

33 （C）

62 （D）

33

8.（2010四川文）（12）半径为R的球O的直径段

AB垂直于平面a，垂足为B，?BCD是平面a内边长为R的正三角形，线

间的球面距离是

AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点1718 （B）Rarccos 252514（C）?R （D）?R

153（A）Rarccos【答案】A

【解析】由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝

1 2cos∠BAC＝25 5

连结OM，则△OAM为等腰三角形

AM＝2AOcos∠BAC＝

4545R，同理AN＝R，且MN∥CD 55而AC＝5R,CD＝R

故MN：CD＝AN:AC ? MN＝

4R， 5连结OM、ON，有OM＝ON＝R

OM2?ON2?MN217于是cos∠MON＝ ?2OM?ON25所以M、N两点间的球面距离是Rarccos二、填空题

1.（2010江西理）16.如图，在三棱锥O?ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且积，截面面积依次

17 25OA>OB>OC,分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体

为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为 。 【答案】 S3?S2?S1

【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得

S3?S2?S1。

2.（2010北京文）（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚设顶点p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是

动。

y?f(x)，则f(x)的最小正周期为 ； y?f(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴

所围区域的面积为 。