著名机构七年级数学春季班讲义1实数的概念（学生）

实数的概念

课时目标

1. 理解无理数以及实数的概念，并会按要求对实数进行分类；

2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质，会表示任意非负数的平方根； 3. 理解开平方运算的概念，以及开平方运算与平方运算的关系.

知识精要

1. 无理数的定义

无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数. 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数的分类

??正有理数????有理数零??有限小数或无限循环小数???负有理数?实数?????无理数?正无理数?无限不循环小数???负无理数??? 4. 平方根的定义

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（或二次方根），即

x2?a，那么x就叫做a的平方根.

5. 平方根的性质与表示

（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根.

（2）正数a的两个平方根可以用“?a”表示，其中a表示a的正平方根，叫做

a的正平方根，也叫做a的算术平方根；?a表示a的负平方根.

6. 开平方的定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. 7. 平方与开平方的关系：平方与开平方互为逆运算关系.

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8. 常见的无理数有三种类型： 第一类：π型：如π，π+2，…； 第二类：根号型：如3,12,24,…； 第三类：小数型：如0．1010010001…． 9. 立方根的定义

如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根，记做3a，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数. 10. 开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 11. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数； （2）负数的立方根是一个负数； （3）0的立方根是0．

12. 开立方与立方的关系：开立方与立方互为逆运算关系. 13. n次方根的定义

如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根，当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根.其中a叫做被开方数，n叫做根指数.

14. 开n次方的定义：求一个数a的n次方根的运算，叫做开n次方. 15. 开n次方与n次方的关系：开n次方与n次方互为逆运算关系. 16. n次方根的性质

（1）实数a的奇次方根有且只有一个，用“na”表示；

（2）正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n次方根用“na”表示； 负n次方根用“－na”表示（a>0，n是正偶数）； （3）负数的偶次方根不存在；

（4）0的n次方根等于0，表示为“n0?0”.

热身练习

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1. 将下列各数填在相应括号内：

??2， 3.14， 0.21， 3?27， 1?2， 3?3?33， ?， 3有理数集合{ …}； 整数集合 { …}； 正数集合 { …}； 分数集合 { …}； 实数集合 { …}； 2. 判断 （1）无限小数都是无理数

（ ）

（ ） （ ） （ ）

（2）无理数都是开方开不尽的数 （3）不带根号的数都是有理数 （4）带根号的数都是无理数

3.（1）3，5介于哪两个整数之间？

（2）写出一个比－1大的负有理数是 ，比－1大的负无理数是 . 4. 在实数范围内，下列方根是否存在？如果存在，用符号表示这些方根，并求出它的值.

（1）－16的四次方根 （2）16的四次方根 （3）－32的五次方根 （4）?82的六次方根 （5）－0.00243的五次方根 （6）(?27)2的六次方根

5. 求下列各数的平方根 （1）121 （2）

64 （3）0.0009 （4）361 93

6．求下列各数的算术平方根 （1）81 （2）

7．求下列各数的值. （1）4

8. 求下列各式的值

（1）(15)2 （2）(a)2(a?0) （3）(?a)2(a?0) （4）(?15)2 （5）(?a)2(a?0) （6）a2(a是实数)

9. 一个正数的两个平方根为2a+1,5－a求这个数.

10. 已知a的两个平方根x,y为3x?2y?2的一组解，求a的平方根.

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16 （3）289 （4）0.0001 2521 （2）?132?52 （3）(5)2 25