初中数学经典相似三角形练习题（附参考答案）(1)

（3）要求△BEC与△BEA的面积之比，从图中可看出两三角形有一公共边可作为底边，若求得高之比可知面积之比，由此需作△BEA的边BE边上的高即可求解． 解答： 解：（1）AD=DE，AE=CE． ∵CE⊥BD，∠BDC=60°， ∴在Rt△CED中，∠ECD=30°． ∴CD=2ED． ∵CD=2DA， ∴AD=DE， ∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD． ∴AE=CE． （2）图中有三角形相似，△ADE∽△AEC； ∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC， ∴△ADE∽△AEC； （3）作AF⊥BD的延长线于F， 设AD=DE=x，在Rt△CED中， 可得CE=，故AE=． ∠ECD=30°． 在Rt△AEF中，AE=∴sin∠AEF=， ． ，∠AED=∠DAE=30°， ∴AF=AE?sin∠AEF=25

∴． 点评： 本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定及三角形面积的求法等，范围较广．

11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．

（1）求四边形AQMP的周长；

（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；

（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．

考点： 相似三角形的判定；菱形的判定。 菁优网版权所有专题： 综合题。 分析： （1）根据平行四边形的性质可得到对应角相等对应边相等，从而不难求得其周长； （2）因为∠B=∠C=∠PMC=∠QMB，所以△PMC∽△QMB∽△ABC； （3）根据中位线的性质及菱形的判定不难求得四边形AQMP为菱形． 解答： 解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC， ∴四边形APMQ是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB． 26

∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠PMC=∠QMB． ∴BQ=QM，PM=PC． ∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a． （2）∵PM∥AB， ∴△PCM∽△ACB， ∵QM∥AC， ∴△BMQ∽△BCA； （3）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形， ∵点M是BC的中点，AB∥MP，QM∥AC， ∴QM，PM是三角形ABC的中位线． ∵AB=AC， ∴QM=PM=AB=AC． 又由（1）知四边形APMQ是平行四边形， ∴平行四边形APMQ是菱形． 点评： 此题主要考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，菱形的判定等知识点的综合运用．

12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．

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考点： 相似三角形的判定；正方形的性质。 菁优网版权所有专题： 证明题。 分析： 欲证△ADM∽△MCP，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠D=∠C，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可． 解答： 证明：∵正方形ABCD，M为CD中点， ∴CM=MD=AD． ∵BP=3PC， ∴PC=BC=AD=CM． ∴． ∵∠PCM=∠ADM=90°， ∴△MCP∽△ADM． 点评： 本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．

13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10． （1）求梯形ABCD的面积S；

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