2015届高三文科数学模拟试题

2015年高三联考数学（文科）

一、选择题

1．复数2?i2?i（i为虚数单位）的虚部为（ ）

A．35 B．45 C．35i D．45i

2．设集合???yy?lnx,x?1?，集合???xy?4?x2?，则A?(CRB)?（ ） A．? B．?0,2? C．?2,??? D．???,?2??2,???

3．设命题p:a??3,1?，b??m,2?，且a//b；命题q:关于x的函数y??m2?5m?5?ax（a?0且

a?1）是指数函数，则命题p是命题q的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．运行如图所示的程序框图后，输出的结果是（ ） A．0 B．1 C．1?22 D．1?2 5．设等比数列?an?的前n项和为Sn，且S3?2，S6?6，则

a13?a14?a15的值是（ ） A．18 B．28 C．32 D．144

6．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积等于（ ） A．4 B．6 C．8 D．12

7．若函数y?ax?2?1（a?0且a?1）的图象经过定点??m,n?，且过点Q?m?1,n?的直线l被圆

C:x2?y2?2x?2y?7?0截得的弦长为32，则直线l的斜率为（ ）

A．?1或?7 B．?7或

43 C．0或43 D．0或?1 8．已知点??0,1?、???2,3?、C??1,2?、D?1,5?，则向量?C在?D方向上的投影为（ ） A．

21313 B．?213131313 C．13 D．?13

9．已知函数f?x????1??3?2a?3??sinx???a?1??2??cosx，将f??x?图象向右平移?3个单位长度得到函数g?x?的图象，若对任意x?R，都有g?x??g?????4??成立，则a的值为（ ）

A．?1 B．1 C．?2 D．2

?110．已知函数f?x????x2?x?0?若函数g?x??f?x??x?a在R上恰有两个相异零点，则实??f?x?1??x?0?数a的取值范围为（ ）

A．??1,??? B．??1,??? C．???,0? D．???,1? 二、填空题

11．命题：“存在x?R，使得x2?1?1?x2?0”的否定是 ． 12．sin330??2?1?0?3log32? ．

?x?413．若实数x，y满足约束条件??x?y?3?0，则2y的取值范围为 ??2x?y?6?0x?1 ．

14．在坐标平面内横纵坐标均为整数的点称为格点．现有一只蚂蚁从坐标平面的原点出发，按如下线路沿顺时针方向爬过格点：

???1?1,0???2?1,?1???3?0,?1???4??1,?1??

?5??1,0???6??1,1???7?0,1???8?1,1???9?2,1??

?????12?2,?2???????16??2,?2???????20??2,2??

?????25?3,2?????，则蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点?350坐标为 ． 15．若曲线C上任意一点与直线l上任意一点的距离都大于1，则称曲线C “远离”直线l．在下列曲线中，“远离”直线l:y?2x的曲线有 ．（写出所有符合条件的曲线C的编号）

①曲线C:2x?y?5?0；②曲线C:y??x2?2x?94；

③曲线C:x2??y?5?2?1；④曲线C:y?ex?1； ⑤曲线C:y?lnx?2．

三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16．已知函数f?x??4sinxcos?????x?6???1．

（1）求函数f?x?的最小正周期；

（2）在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，若f(A)?2，a?3，S22???C?3求b?c的值．

17．某校高三文科（1）班学生参加“江南十校”联考，其数学成绩（已折合成百分制）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间为?40,50?，?50,60?，?60,70?，?70,80?，?80,90?，

?90,100?，现已知成绩落在?90,100?的有5人．

（1）求该校高三文科（1）班参加“江南十校”联考的总人数； （2）根据频率分布直方图，估计该班此次数学成绩的平均分（可用中值代替各组数据的平均值）； （3）现要从成绩在?40,50?和?90,100?的学生中共选2人参加某项座谈会，求2人来自于同一分

数段的概率．

18．已知各项均为正数的数列?an?满足an?2?2anan?2?4an?1?an（n???），且a1?1，a2?4．

（1）证明：数列?an?是等差数列；

（2）设bn?2n?1a，?bn?的前n项和为Sn，求证：Sn?1． nan?1

19．如图，圆柱OO1的底面圆半径为2，ABCD为经过圆柱轴OO1的截面，点P在弧AB上且弧

AP的长等于13弧APB，Q为PD上任意一点．

（1）求证：AQ?PB；

（2）若直线PD与面ABCD所成的角为30，求圆柱OO1的体积．

20．已知函数f?x??alnx??a?1?xx?1，其中a?0．

（1）当a?1时，求曲线y?f?x?在?1,f?1??处的切线方程；

（2）讨论f?x?在其定义域上的单调性．

21．已知椭圆C:x2y2ab（a?b?0）经过点???1,3?2?2?12??，它的左焦点为F(?c,0)，直线l1:y?x?c与椭圆C交于A,B两点，?ABF的周长为a3． （1）求椭圆C的方程；

（2）若点P是直线l2:y?x?3c上的一个动点，过点P作椭圆C的两条切线PM、PN,M、N分别为切点，求证：直线MN过定点，并求出此定点坐标．（注：经过椭圆x2y2a2?b2?1（a?b?0）

上一点?xxxyy0,y0?的椭圆的切线方程为0a2?0b2?1）

参考答案

BCAAC AADDB

10 B．g(x)?0?f(x)??x?a，当x???1,0?时，x?1??0,1?，f(x)?f(x?1)?x?1，故把y?x图象在?0,1?上的部分向左平移1个单位得到f(x)在??1,0?上的图象，再把f(x)在??1,0?上的图象每次向

左平移1个单位连续平移就得到f(x)在R上的图象，再作出y??x?a的图象，由图象可得?a?1，

a??1，故选B

11.对任意x?R，都有x2?1?1?x2?0．12.

5?42 13.???5,4??? 14.??1,9? 以O为中心，边长为2的正方形上共有格点a1?8个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为?1,1? 以O为中心，边长为4的正方形上共有格点a2?16个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为?2,2? 以O为中心，边长为6的正方形上共有格点a3?24个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为?3,3?

………

以O为中心，边长为2n的正方形上共有格点an?8n个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为?n,n?，由前

n个正方形上格点的总数Sn(8?8n)n?a1?a2?a3?…?an?8?16?24?…?8n?2?350得n?9．当n?9时，前9个正方形上格点的总数S9?9(8?72)2?360，且蚂蚁在第9个正方形（边长为18）上爬过的最后一个格点为A360?9,9?，故蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点A350坐标为??1,9?．

15.②③⑤ 对①：d?522?1?1，?不合题意；

对②：设直线l21:y?2x?b与曲线C:y??x?2x?94相切，把y?2x?b代入y??x2?2x?94得x2?94?b?0，由??0?4??9?9?4?b???0，得b??4，此时直9线l与l的距离d?48115?80?1，符合题意； 对③：

圆心C?0,5?到直线l的距离d?0?55?5，?圆C上的点到l距离的最小值为5?1?1，符合

题意；对④：设曲线C上斜率为2的切线的切点为P?x0,y0?，

y'?ex，

?k?y'0x?x0?ex?2,?x0?ln2，?P?ln2,3?，切线：y?3?2?x?ln2?，即：2x?y?3?2ln2?0，

?切线与C的距离d?3?2ln23?ln45?5，ln4??1,2?，?3?ln4??1,2?，而5?2,?d?1，不合

题意；对⑤：设切点为P?x0,y0?，

y'?1x， ?k?y'1x?x0?x?2,?x?1，?P??1,?2?ln2??，?d?1?ln2?2?3?ln20?1,02?2?55符合题意。

16.解：（I） f?x??4sinx???cosxcos?6?sinxsin??6?2??1=23sinxcosx?2sinx?1 =3sin2x?cos2x?2sin???2x???6?? …………3分

?T?2?2?? …………5分 （II）

f?A??2sin???2A??????6???2,?sin??2A?6???1,

又0?A??,??6?2A??13?6?6,?2A??6??2,A??6 …………7分 S?1?ABC2bcsinA?3,?bc?43…………9分

又

a2?32?b2?c2?2bccosA?b2?c2?12，?b2?c2?21 …………12分

17.解：（I）该校高三文科（1）班参加“江南十校”联考的总人数为

50.010?10?50（人）………3分

（II）平均分x?45?0.06?55?0.16?65?0.20?75?0.28?85?0.20?95?0.10 ?2.7?8.8?30?21?9.5?72（分） …………7分 (Ⅲ) 成绩在?40,50?中共有0.006?10?50?3（人），记为a,b,c …………8分

成绩在?90,100?中共有0.010?10?50?5（人），记为1，2，3，4，5

总的基本事件有?a,b?,?a,c?,?a,1?,???,?4,5?共28个，其中2人来自同一分数段的基本事件有

?a,b?,?a,c?,?b,c?,?1,2?,?1,3?,???,?4,5?共13个 ………11分故概率P?1328 ……12分

18.（Ⅰ）

an?2?2anan?2?an?4an?1且an?0

?（a2n?2?an)?(2an?1)2 ?an?2?an?2an?1 …………3分

??an?是首项为a1=1，公差为a2?a1?1的等差数列 ………… 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得an?1?(n?1)?1?n,an?n2 …………7分

?b2n?1n?n2?n?1?2?1n2?1?n?1?2……………………9分 ?S?1?1122?1111n2?232?…?n2??n?1?2 ?1??n?1?2?1 ……12分 19.证明：（I）连接PA，AB为O的直径，?PA?PB…1分

又

AD?面PAB，PB?面PAB,?PB?AD ……2分

D O 又PA?AB?A,?PB?面PAD …………4分 C

又AQ?面PAD，?AQ?PB …………5分 （II）过点P作PE?AB，E为垂足，连结DE，

Q

E

O1

OO1?面PAB,?面ABCD?面PAB,?PE?面ABCD …………6分 A

B

??PDE就是直线PD与面ABCD所成的角，? ?PDE?30 …………8P

分 又

?AP?1?3APB，?O1E?1,PE?3， 又 tan?PDE?PEDE 第19 题

?DE?3,AD?DE2?AE2?32??2?1?2?22 ……11分

?V?Sh???22?22?82? …………13分

20.（Ⅰ）当a?1时，f(x)?lnx?2xx?1，f/(x)?12(x?1)?2xx?(x?1)2?1x?2(x?1)2……2分

?f/(1)?1?12?12，又f(1)??1 ?切线方程为y?(?1)?1132(x?1)即y?2x?2……5分 （Ⅱ）f(x)的定义域为(0,??)，

f/(x)?a(a?1)(x?1)?(a?1)xax2?(a?1)x?ax?(x?1)2?x(x?1)2 ……6分 ①当a?0时，f/(x)??xx(x?1)2??1(x?1)2?0 ?f(x)在(0,??)上单调递减 …… 7分 ②当a?0时，设g(x)?ax2?(a?1)x?a(x?(0,??))

（a）当??(a?1)2?4a2??3a2?2a?1?0即a?13时，f/(x)?0,?f(x)在(0,??)上单调递增…9分 （b）当???3a2?2a?1?0即0?a?11?a??3a2?2a?13时， 由g(x)?0得x?2a

(1?a)2?(?3a2?2a?1)?4a2?0

?0?x1?a??3a2?2a?11?a??3a2?2a?11?2a?x2?2a ?当x?(0,x1)和(x2,??)时，f/(x)?0， 当x?(x1,x2)时，f/(x)?0，

?f(x)单调递增区间为(0,x1)和(x2,??)，f(x)单调递减区间为(x1,x2) ………… 12分

综上，当a?0时，f(x)单调递减区间为(0,??)；

当0?a?13时，f(x)单调递增区间为(0,x1)和(x2,??)，单调递减区间为(x1,x2)； 当a?13时，f(x)单调递增区间为(0,??) …………13分 21. （Ⅰ）由题意得：4a?a3,a2?4,a?2 …………2分

3 又椭圆C过(1,32)点，?1（2）224+b2?1……3分?b?3………5分

?椭圆C的方程为x2y24?3?1 …………6分 （Ⅱ）c?1,l2:y?x?3 设M（x1,y1),N(x2,y2),P(t,t?3)

则直线lx1xMP:?y1y?1………7分直线lxxy2y43PN:24?3?1 …………8分 又P（t,t?3)在上述两切线上， ?x1ty1(t?3)x4?3?1，2ty(t?3)4?23?1 ?直线ltx(t?3)yMN:4?3?1……10分即：(3x?4y)t?12y?12?0 由??3x?4y?0?4得???12y?12?0?x??3 ?直线MN过定点，且定点坐标为(4,?1) ?y??13…13分