高三数学一轮基础巩固 第4章 第4节 两角和与差的三角函数（含解析）新人教B版

【走向高考】2016届 高三数学一轮基础巩固 第4章 第4节 两角和

与差的三角函数 新人教B版

一、选择题

1．(文)(2015·烟台市期中)log2sinπ＋log2cosπ

1212的值为( ) A．－2 B．－1

C.1

2 D．1 [答案] A

[解析] log2sinππππ

12＋log2cos12＝log2(sin12cos12) ＝log2(1π)＝log21

2sin64＝－2.

(理)(2014·浙江温州一适)已知sin2α＝1－π

3，则cos2(α4)＝( ) A.1

3 B．－13

C.2D．－23 3 [答案] C

1＋cos2απ1

[解析] cos2(α－π－21＋sin2α1＋3

2

4)＝2＝2＝2＝3，故选C. 2．(2014·新课标Ⅰ)设α∈(0，ππ1＋sinβ2)，β∈(0，2)，且tanα＝cosβ，则( A．3α－β＝ππ2 B．3α＋β＝2 C．2α－β＝π2α＋β＝π

2 D．2 [答案] C

[解析] 解法1：当2α－β＝π－π

2时，β＝2α2， 1＋sin2α－π

所以2

1－cos2α2sin2α

cos2α－π＝sin2α＝sin2α＝tanα.

2解法2：∵tanα＝sinα1＋sinβ

cosα＝cosβ， ∴sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，

) - 1 -

∴sin(α－β)＝cosα＝sin(π

2－α)，

∵α、β∈(0，πππππ)，∴α－β＝ππ

2)，∴α－β∈(－2，2)，2－α∈(0，22－α，∴2α－β＝2. 3．(文)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝23

3，则tanAtanB的值为( ) A.1B．1

4 3 C.1 D．523 [答案] B

[解析] ∵C＝120°，∴A＋B＝60°， ∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB

1－tanAtanB＝3，

∵tanA＋tanB＝231

3，∴tanAtanB＝3. (理)(2014·湖北重点中学联考)若tanα＝lg(10a)，tanβ＝lg(1π

a)，且α＋β＝4，则实数a的值为(A．1

B．1

10 C．1或1

10 D．1或10

[答案] C

[解析] ∵tanα＝lg(10a)＝1＋lga， tanβ＝lg(1

a)＝－lga， ∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ

1－tanα·tanβ

＝

1＋lga＋－lga1－－lga·1＋lga＝1

1＋lga＋lg2a

＝1，

∴lg2a＋lga＝0，∴lga＝0或－1. ∴a＝1或110.

4．(2014·河北衡水中学五调)已知sin(α＋π＝－43π2π

3)＋sinα5，－2<α<0，则cos(α＋3)等于(A．－435 B．－5 C.4 D．355 [答案] C

[解析] ∵sin(α＋π)＋sinα＝－43π

35，－2<α<0， ∴33432sinα＋2cosα＝－5，

) ) - 2 -

314∴2sinα＋2cosα＝－5. 2π2π2π

∴cos(α＋3)＝cosαcos3－sinαsin3 134＝－2cosα－2sinα＝5. π

5．(文)(2014·四川成都五校联考)已知锐角α满足cos2α＝cos(4－α)，则sin2α等于( ) 11A.2 B．－2 2C.2

2

D．－2

[答案] A

π

[解析] ∵α∈(0，2)，

πππ

∴2α∈(0，π)，4－α∈(－4，4)． π

又cos2α＝cos(4－α)， ππ

∴2α＝4－α或2α＋4－α＝0， ππ

∴α＝12或α＝－4(舍)， π1

∴sin2α＝sin6＝2，故选A.

53

(理)设α、β都是锐角，且cosα＝5，sin(α＋β)＝5，则cosβ＝( ) 25A.25 25B．5

252555C.25或5 D．5或25 [答案] A

25

[解析] 依题意得sinα＝1－cos2α＝5，cos(α＋β)＝±1－sin2454

锐角，因此0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β)，因为5>5>－5， 4

所以cos(α＋β)＝－5.

4532525

cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－5×5＋5×5＝25，选A. π

6．(2013·池州期末)已知θ是△ABC中的最小角，则sin(θ＋3)的取值范围是( ) 33

A．(2，1] B．[2，1]

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4

α＋β＝±5.又α、β均为

1

C．(2，1] 1

D．[2，1]

[答案] B

[解析] ∵θ是△ABC中的最小角，不妨设B＝θ，则0<θ≤A,0<θ≤C，∴0<3θ≤A＋B＋C＝π，即π0<θ≤3. ππ2π∴3<θ＋3≤3，

π3

∴sin(θ＋3)的取值范围是[2，1]，故选B. 二、填空题

π

7．(2014·陕西咸阳质检)已知α∈(0，2)，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则

sin2α＋cos2α＋1＝________. [答案]

268

π

sinα＋4

π

[解析] ∵α∈(0，2)，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)(sinα＋cosα)＝0，∴2sinα＝3cosα，

又∵sin2α＋cos2α＝1，

23

∴cosα＝，sinα＝，

1313

πsinα＋4

∴

sin2α＋cos2α＋1

2

2sinα＋cosα

sinα＋cosα2＋cos2α－sin2α

＝

26＝8. ππ

8．函数y＝cos(3－2x)＋sin(2－2x)的最小正周期为________． [答案] π

ππ

[解析] y＝cos3cos2x＋sin3sin2x＋cos2x 3331

＝2cos2x＋2sin2x＝3(2cos2x＋2sin2x) π

＝3sin(2x＋3)，∴T＝π.

9．(文)下列命题：①存在α、β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ；②存在φ∈R，使f(x)＝cos(3xππ

＋φ)为奇函数；③对任意α，β∈(0，2)，若tanα·tanβ<1，则α＋β<2；④△ABC中，sinA>sinB的充要条件是A>B.其中真命题的序号是________．

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