《创新设计高考总复习》配套学案：排列与组合

第2讲 排列与组合

[最新考纲]

1．理解排列、组合的概念．

2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 3．能解决简单的实际问题.

知 识 梳 理

1．排列与组合的概念

名称 排列 组合 2.排列数与组合数 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．

(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数． 3．排列数、组合数的公式及性质

(1)Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝公式 n！ ?n－m?！从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 定义 按照一定的顺序排成一列 合成一组 mn?n－1??n－2?…?n－m＋1?n！mAn(2)Cn＝Am＝＝(n，m∈N*，且m！m！?n－m?！m0m≤n)．特别地Cn＝1. 性质 (1)0！＝1；Ann＝n！. n－mmmm－1(2)Cmn＝Cn；Cn＋1＝Cn＋Cn. 辨 析 感 悟

1．排列与组合的基本概念、性质

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)

(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)

m

(3)若组合式Cxn＝Cn，则x＝m成立．(×)

2．排列与组合的应用

24(4)5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有A55－A2A4＝72种．(√)

(5)(教材习题改编)由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有3×43－A34＝168(个)．(×)

(6)(2013·北京卷改编)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人

4至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是4A4＝96

种．(√) [感悟·提升]

1．一个区别 排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合，如(1)忽视了元素的顺序．

2．求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”

学生用书第174页

考点一 排列应用题

【例1】 4个男同学，3个女同学站成一排． (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？ (3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？

解 (1)3个女同学是特殊元素，共有A3由于3个女同学必须排在一起，3种排法；

5视排好的女同学为一整体，再与4个男同学排队，应有A5种排法． 35由分步乘法计数原理，有A3A5＝720种不同排法．

(2)先将男生排好，共有A44种排法，再在这4个男生的中间及两头的5个空档中

3插入3个女生有A5种方法．

43故符合条件的排法共有A4A5＝1 440种不同排法．

(3)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A44种排法；由于甲、乙要相邻，故

2先把甲、乙排好，有A2种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原2先排好的4人的空档及两边有A5种排法． 422总共有A4A2A5＝960种不同排法．

规律方法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．

(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．

【训练1】 (1)(2014·济南质检)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )． A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9!

(2)(2013·四川卷)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )． A．9 B．10 C．18 D．20

解析 (1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种． a

(2)由于lg a－lg b＝lgb(a>0，b>0)，

aa

∴lgb有多少个不同的值，只需看b不同值的个数．

a13392

从1,3,5,7,9中任取两个作为b有A5种，又3与9相同，1与3相同，∴lg a－lg b的不

2同值的个数有A5－2＝18.

答案 (1)C (2)C

考点二 组合应用题

【例2】 某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？

(1)只有一名女生； (2)两队长当选；

(3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选； (5)既要有队长，又要有女生当选．

14

解 (1)一名女生，四名男生．故共有C5·C8＝350(种)．

(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C2C32·11＝165(种)．

14(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．故共有：C2·C11＋C2C32·115＝825(种)或采用排除法：C13－C511＝825(种)．

(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．故选法为：

145C2C3C8＋C8＝966(种)． 5·8＋C5·

4(5)分两类：第一类女队长当选：C12；第二类女队长不当选： 2231C1C3C7＋C4·C7＋C44·7＋C4·4.

故选法共有：

13224C4C7＋C4·C7＋C3C112＋C4·4·7＋C4＝790(种)．

规律方法 组合问题常有以下两类题型变化

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．

【训练2】 若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )．

A．60种 B．63种 C．65种 D．66种

解析 满足题设的取法可分为三类：一是取四个奇数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C4二是两个奇数和两个偶数，在5个奇数中任取2个，5＝5(种)；再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C2C25·4＝60(种)；三是取4个偶数的取法有