高中数学联赛模拟题8

共圆，得?PQB??FAP.所以

?MNP??MQP?(?CNM??CNP)?(?MQB??PQB)?

(?CAM??AFP)?(?MAB??FAP)?(?CAM??MAB)?(?AFP??FAP) ?90??90??180?.故M,N,P,Q共圆.

二. 证明：由

?xi?1ni?1和平均值不等式，有

1?x0???xn?1，从而左边的不等是已证

21?x0?x1???xi?1xi?xi?1???xn?明。

因为0?x0?x1???xi?1,i?1,2,?,n，故可令

???i?arcsin(x0???xi),i?0,1,?,n且?1?(0,],0??0??1????n?，

22从而xi?sin?i?sin?i?1?2cos?i??i?12sin?i??i?12

又 (1?x0?x1???xi?1)(xi?xi?1???xn)?(1?sin?i?1)(1?sin?i?1)?cos2?i?1

所以

?i?1nnxi=?1?x0?x1???xi?1xi?xi?1???xni?12cos?i??i?12sin?i??i?12cos?i?1

??2sini?1n?i??i?12????(?i??i?1)（因为x?(0,]时，sinx?x）=?n??0?。

22i?1n故原命题得证。

三.解：首先，我们可以指出12个连续正整数，例如994，995，?，999，1000，1001，?，1005，其中任一数的各位数字之和都不是7的倍数，因此，n?13。 再证，任何连续13个正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.对每个非负整数a，称如下10个数所构成的集合:Aa?{10a,10a?1,?10a?9}为一个“基本段”，13个连续正整数，要么属于两个基本段，要么属于三个基本段。当13个数属于两个基本段时，据抽屉原理，其中必有连续的7个数，属于同一个基本段；当13个连续数属于三个基本段

Aa?1,Aa,Aa?1时，其中必有连续10个数同属于Aa.现在设akak?1?aa1 0akak?1?a1(a0?1),?akak?1?a1(a0?6)是属于同一个基本段的7个数，它们的各位数字

之和分别是

?a,?a?1,?,?a?6,显然，这7个和数被7除的余数互不相同，其中必

iiii?0i?0i?0kkk有一个是7的倍数.因此，所求的最小值为n?13.

四. 解：(1)S中任意两个不同元素x,y满足d(x,y)>3，否则存在两个x,y使得d(x,y)?3，不妨设最多x1,y1；x2,y2；x3,y3这三组不同，先取T中的元素z=(x1,y2,x3,?) 省略的部分与元素x,y的相同，则d(z,y)?3，d(z,x)?3与条件中的唯一性矛盾。

(2)一方面，将S中的每个元素的分量改变0个，1个，2个，3个后都是T中的元素，

123所以2n?2k(C0n?Cn?Cn?Cn)；另一方面，设与S中元素y1对应的T中元素的集合为

T1，能够与S中的元素y满足d(x,y)?3的全部元素x也只能是由元素y改变0个，1个，2个，3个分量而得到，故T1?(Cn?Cn?Cn?Cn)，同理T2?(Cn?Cn?Cn?Cn)，?，

123T2k?(C0n?Cn?Cn?Cn)，

k0123从而T?T1?T2???T2k?2(Cn?Cn?Cn?Cn)

01230123123所以2n?2k(C0n?Cn?Cn?Cn)，可化为：3?2=k(2k-3k+4) (1)

k-2

2

若3不能整除k，则k=2，由于k?6，m?3，从而2k-3k+4是4的倍数，但不是8的倍数，故2k-3k+4=12，但此方程无整数解。于是k=3t=3?2，q?1，方程(1)可化为：2=t(18t-9t+4) (2)

2qqq

若q?3，则18t-9t+4≡4(mod8)；3?2-q-2=3(1+1)-q-2>4，故3?2-q-2≡0(mod8),方程(2)无整数解。所以q=1，2，分别代入方程(2)解得：t=4,k=12,n=23。

3t-2

2

2

q

m2

?4n2?k1(k?k2?2n)?2nk2?4n2?k(k?k2?2n)?2nk2

?4n2?2nk?k2?k2(k?2n)?4n?2nk?k?k(k?2n)?2k2?4nk?4n2?2n2?2n2?122

这与xn?2n?1矛盾。因此xn?2n2成立。证毕．

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