2020高考数学(文)刷题首选卷：简单的三角恒等变换(含解析)

＝

2tanα2×2

＝＝1． 22

tanα＋tanα－22＋2－2

二、模拟大题

2．(2018·咸阳质检)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，3)．

(1)求sin2α－tanα的值；

?π?(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝3f?－2x?－?2??2π?2

2f(x)在区间?0，?上的取值范围．

3??

解 (1)∵角α的终边经过点P(－3，3)， 133

∴sinα＝，cosα＝－，tanα＝－．

223∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－

333

＋＝－． 236

(2)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，x∈R，

?π?2

∴g(x)＝3cos?－2x?－2cosx

?2?

π??＝3sin2x－1－cos2x＝2sin?2x－?－1，

6??2πππ7π

∵0≤x≤，∴－≤2x－≤．

3666π?1?∴－≤sin?2x－?≤1，

6?2?π??∴－2≤2sin?2x－?－1≤1， 6??

?π??2π?2

故函数g(x)＝3f?－2x?－2f(x)在区间?0，?上的取值范围是[－2,1]．

3??2??

3??π??π??3．(2018·南昌调研)已知函数f(x)＝cosx·?sin?x＋?－3sin?x＋??＋．

3?2??4???π?θ5π?3

(1)若f?＋?＝，0<θ<，求tanθ的值；

2?212?10

(2)求f(x)的最小正周期及函数g(x)＝f?－?的单调增区间．

?2?3??π??π??解 f(x)＝cosx?sin?x＋?－3sin?x＋??＋ 3?2??4???33?1?

＝cosx?sinx＋cosx－3cosx?＋ 2?2?4

?x?

33?1?

＝cosx?sinx－cosx?＋

2?2?41332

＝sinxcosx－cosx＋ 2241333＝sin2x－cos2x－＋ 444413

＝sin2x－cos2x 44π?1?

＝sin?2x－?．

3?2?

?θ5π?3

(1)由于f?＋?＝，

?212?10

5ππ?31?

所以sin?θ＋－?＝，

63?102?133

即cosθ＝，所以cosθ＝． 2105

4?π?2

又θ∈?0，?，所以sinθ＝1－cosθ＝，

2?5?sinθ4

从而tanθ＝＝．

cosθ3

2π

(2)f(x)的最小正周期T＝＝π．

2π??x?1?又g(x)＝f?－?＝sin?－x－? 3??2?2?1?π?＝－sin?x＋?，

3?2?

ππ3π

令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，

232π7π

得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，

66

π7π??故g(x)的单调增区间是?2kπ＋，2kπ＋?(k∈Z)．

66??

5ππ3π

4．(2018·豫南九校4月联考)已知函数f(x)＝sin－2x－2sinx－cosx＋．

644(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

πππ3

(2)若x∈，，且F(x)＝－4λf(x)－cos4x－的最小值是－，求实数λ的值．

12332解 (1)∵f(x)＝sin

5ππ3π13

－2x－2sinx－cosx＋＝cos2x＋sin2x＋(sinx－64422

cosx)(sinx＋cosx)

1322＝cos2x＋sin2x＋sinx－cosx 2213

＝cos2x＋sin2x－cos2x 22π＝sin2x－，

6

2π

∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π．

2πππ

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)得

262

kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

∴函数f(x)的单调递增区间为

π6π3

kπ－，kπ＋(k∈Z)．

π

(2)F(x)＝－4λf(x)－cos4x－ 3ππ2

＝－4λsin2x－－1－2sin2x－ 66ππ2

＝2sin2x－－4λsin2x－－1

66π22

＝2sin2x－－λ－1－2λ．

6ππππ∵x∈，，∴0≤2x－≤，

12362π

∴0≤sin2x－≤1．

6

π

①当λ<0时，当且仅当sin2x－＝0时，f(x)取得最小值，最小值为－1，这与已知

6不相符；

π2

②当0≤λ≤1时，当且仅当sin2x－＝λ时，f(x)取得最小值，最小值为－1－2λ，

63112

由已知得－1－2λ＝－，解得λ＝－(舍去)或λ＝；

222

π

③当λ>1时，当且仅当sin2x－＝1时，f(x)取得最小值，最小值为1－4λ，由已

635

知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ>1矛盾．

28

π6π3

1

综上所述，λ＝．

2