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数学建模人口迁移的动态分析

摘要

本文主要是计算A1、A2、A3三地区经过迁移后的人口及人口比例的变化，经过分析列出方程组，利用C程序计算出10年后、100年后三地区的人口数。由计算所得绘制出人口数量的走势图，加以数据的分析，进而对时间无限的增长各地区人口比例的稳定性进行了很好的分析。

通过对该问题的数学模型建立，培养了团队合作能力，锻炼了我们的发散思维能力，增强了用数学方法解决实际问题的能力。

关键词：人口迁移模型，研究性学习，VC++，递归方法

问题重述

在工业化的进程中，经济欠发达地区的人口会向经济发达地区迁移，形成一个稳定的朝向城市的人口流动趋势。假设有三个地区A1、A2、A3，第一年初三个地区的总人口为1亿人，各个地区人口在总人口中的比例分别是25％、35％、40％。地区A1每年有人口的1％流向地区A2，有人口的1％流向地区A3；地区A2每年有人口的1％流向地区A3，有人口的2％流向地区A1；地区A3每年有人口的3％流向地区A1，有人口的2％流向地区A2。 （1）假如三个地区的总人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，问10年以后三个地区的人口各是多少？100年以后呢？时间无限增大各地区人口比例是否会稳定在某一个水平。

（2）设地区A1的人口自然增长率5‰；地区A2的人口自然增长率为7‰；地区A3的人人口自然增长率为11‰。并且假定人口迁移是在每年初或年末一次完成的，问10年以后三个地区的人口各是多少？100年以后呢？时间无限增大各地区人口比例是否会稳定在某一个水平。

问题分析：（1）、我们需要建立一个描述这3个地区人口流动的模型，并求出在多少年后A1、A2、A3地区的人口。

问题假设

1、A1、A2、A3地区是相对封闭的地区，人口的流动只发生在这3个地区。 2、问题中提过3个地区的总人口不变，所以假设该3个地区的出生率等于死亡率。在问（2） 中则不是，A1、A2、A3地区的人口是增长的，没个地区的增长率不一样，而迁移的时候是在增长了人口后。

3、假设人口的迁移时是一次性完成的，在每年末完成。 4、每个地区的迁入、迁出的比例不变。 5、符号的说明：

Aij（i=1、2、3，j=1、2、3…..）：Ai地区在j年后的人口数。 ri (i=1、2、3)：为Ai地区的自然增长率。

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问题的解决

问题（1）我们从问题中获得的信息可以列出数学表达式如下：设x为总人口数，则: 第一年：A11=0.25*x+0.35*x*0.02+0.40*x*0.03-0.25*x*0.02 A21=0.35*x+0.25*x*0.01+0.40*x*0.02-0.35*x*0.03 A31=0.40*x+0.25*x*0.01+0.35*x*0.01-.0.40*x*0.05 第二年则在第一年的基础上迁移：

A12=0.25* A11+0.35* A21*0.02+0.40* A31*0.03-0.25* A11*0.02 A22=0.35* A21+0.25* A11*0.01+0.40* A31*0.02-0.35* A21*0.03 A32=0.40* A31+0.25* A11*0.01+0.35* A21*0.01-.0.40* A31*0.05

第三年则在第二年的基础上迁移…以此类推，用递归的方法可求出某年的A1、A2、A3地区的人口。

问题（2:）：从问题中分析可知：每个地区每年增长了人口后，则迁移人口数则与问题（1）

有所不同，用已知的数据和条件求A1、A2、A3地区迁移过后的人口。

设A1、A2、A3地区未增长时的总人口数是x,则： 第一年：

A11=0.25*x*(1+0.005)+0.35*x*(1+0.007)*0.02+0.40*x*(1+0.011)*0.03-0.25*x*(1+0.005)*0.02

A21=0.35*x*(1+0.007)+0.25*x*(1+0.005)*0.01+0.40*x*(1+0.011)*0.02-0.35*x*(1+0.007)*0.03

A31=0.40*x*(1+0.011)+0.25*x*(1+0.005)*0.01+0.35*x*(1+0.007)*0.01-0.40*x*(1+0.011)*0.05

第二年则在第一年的基础上迁移，同时也有人口的增长：

A12=0.25*A11*(1+0.005)+0.35*A21*(1+0.007)*0.02+0.40*A31*(1+0.011)*0.03-0.25*A11*(1+0.005)*0.02

A22=0.35*A21*(1+0.007)+0.25*A11*(1+0.005)*0.01+0.40*A31*(1+0.011)*0.02-0.35*A21*(1+0.007)*0.03

A32=0.40*A31*(1+0.011)+0.25*A11*(1+0.005)*0.01+0.35*A21*(1+0.007)*0.01-0.40*A31*(1+0.011)*0.05

第三年在第二年的基础上迁移，同时也有人口的增长…..运用递归的方法就可求出某年的A1、A2、A3地区的人口。

对于我们来说求解问题时，首先想到的是运用Microsoft Visual C++来编程:

问题（1）的解：

运用C程序求出，在人口总数不变的情况下： 10年后地区人口数为:

A1=36248300， A2=34517400， A3=29234400； 100年后地区人口数为：

A1=53847500， A2=29437900， A3=16714600； 当时间无限增长时，用C++程序可求的3个地区的人口趋于稳定了，则人口比例也趋于稳定，也可作出人口—时间的曲线图，可看出曲线到后面已趋于稳定。

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问题（1）100年内人口数目曲线：

问题（2）的解：

10年后地区的人口数:

A1=38497300， A2=37122300， A3=32457200； 100年后地区人口数：

A1=104040000， A2=59793000， A3=35793400； 当时间无限增长时，用C++程序运算可求出A1 与A2、、A2与A3的人口比例趋于1.6~1.8之间，则可知人口比例趋于稳定。 问题（2）100年内人口数目曲线：

模型的结果分析

1、在总人口保持不变时，随着时间的推移，各地区的人口数量会趋于一个稳定值。

2、 在人口自然增长率固定时，随着时间的推移，各地区的人口数量虽然不会达到一个稳定值，会不断地上升，但最终各地区的人口比例也会趋于一个稳定水平。

模型的优缺点：

优点：人口迁移在有限年内找到其规律，建立模型，虽然模型求解要用到计算机帮助，但程序原理简单，求解方便。 缺点：人口迁移局限在了一个很小的地方，忽略了其他地区的迁入和迁出到其他地区的情况，假定了3个地区的总人口不变和人口自然增长率不变，这是与实际不太相符的。

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