江苏宿迁2014高三考前信息卷数学试题 - 图文

又f?(?1)?0，f(?1)?4，

∴y = 4是曲线y?f(x)的一条切线，且过（m，4）； …………………6分 设另两条切线切点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1??1，x2??1且x1?x2，

23∴不妨设直线l1的方程为y?(6x12?6)x?4x13，直线l2的方程为y?(6x2， ?6)x?4x223令y = 4并化简得3m(x12?1)?2(x13?1)，3m(x2?1)?2(x2?1)，

22(x12?x1?1)2(x2?x?1)则m?且m?， ………………………………8分

3(x1?1)3(x2?1)2(x2?x?1)∴x1，的两解， x2是方程m?3(x?1)212(x2?x?1)21)， 令g(x)??(x?1??1)，g?(x)?(1?3(x?1)23(x?1)3x?1令g?(x)?0得x = 2或0，

∴当x＜0或x＞2时，g?(x)＞0；当0＜x＜1或1＜x＜2时，g?(x)＜0；

2又g(0)??，g(2)?2，

322?)，当0≤x＜1时，g(x)的值域为(??，?]； 故当x＜0时，g(x)的值域为(??，33 当1＜x＜2时，g(x)的值域为(2，??)，当x＞2时，g(x)的值域为[2，??)； 又当x??1时，g(?1)??1，

2?1)(?1，?)(2，??)； ………………………………10分 因此m?(??，3（2）令xB?x1，xC?x2，由f?(x)?3ax2?2bx?c及l1//l2得

23ax12?2bx1?c?3ax2?2bx2?c，

∴3a(x1?x2)(x1?x2)?2b(x2?x1)由x1?x2 得x1?x2??即x2??x1?2b， 3a2b； ………………………………3a12分

将y?(3ax12?2bx1?c)(x?x1)?y1与y?f(x)联立化简得

ax3?bx2?(3ax12?2bx1)x?2ax13?bx12?0，

bb∴a(x?x1)2(x?2x1?)?0，∴xD??2x1?， …………………………14分

aabb同理xA??2x2??2x1?，

a3ab2bb∴xA?xB?x1?，xB?xC?2x1?，xC?xD?x1?，

3a3a3a∴(xA?xB):(xB?xC):(xC?xD)?1:2:1． ………………………………16分

11

20．解：（1）由条件得1，b1，b2，… bk ，3 ，9 成等差数列，

2

所以公差d = – 9 ，k = 2，

75

所以这2个数为：b1=9 ，b2= 9 ； ……………………2分

（2）设a1与a2之间插入k个数，k∈N，且k≤m，

则在a2与a3之间插入（m – k）个数，

由条件这等差数列第一项为a1=1，第k+2项为a2 = q，第m+2项为a2 = q2，

q – 1q2 –q

所以k+1 = m – k +1，q ≠ 1，

m – k +1m

所以q = k +1，且 k ≠ 2 ；

m – k +1m

，k∈N，k ≤ m且k ≠ k +12 }；

……………………6分

（3）当且仅当q∈N，且q ≥ 2时，在数列{an}的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck

（k∈N*，ck∈N）个数，使之成为一个等差数列； 证明如下：

（i）当q∈N，且q ≥ 2时，新构成的等差数列可以是正整数数列1，2，3，…，显然满足条件； ………………………8分

（ii） 若在数列{an}的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（k∈N*，ck∈N）个数， 使之成为一个等差数列，这个等差数列设为{bn}，

ak+1 –akak+2 –ak+1则对于任意的k∈N*，都有c+1 = c+1，

kk+1

kk– 1k+1kq –q q –q

即c+1 = c+1，q ≠ 1且q ≠ 0，

kk+1

ck+1+1

所以q = c+1，ck+1，ck∈N，

k

所以q为正有理数，{an}为正项无穷等比数列，

t

若q不为整数，不妨设q = p ，其中p，t∈N*，p与t互质，且p≥ 2，

tp–1t–pt–p

等差数列{bn}的公差为d = c+1 = (c+1) p，通项为bn= 1+(n – 1) (c+1) p；

111

则数列{(c1+1) pbn}的各项都为整数， 则对于任意的n∈N* ，(c1+1) p an∈N*，

t

即对于任意的n∈N* ，(c1+1) p（p）n-1∈N*，

即于任意的n∈N*，由p与t互质，则(c1+1) p都能被pn– 1整除，p≥2，且p∈N*， 这是不可能的，

所以q为正整数，又q ≠ 1， 所以q∈N，且q ≥ 2； ……………………12分

当q∈N，且q ≥ 2时，

q–1

对于首项为1，第(c1+1)项为q的等差数列{bn}，则公差d = c+1，

1

q–1

令an = bm ，即q n–1 = 1+(m–1) c+1（n∈N*），

1

q n–1–1

有m = (c1+1) q –1 +1∈N*，

q n–1–1

所以an是{bn}中的第[(c1+1) q –1 +1]项，

所以c1的所有可能值的集合是自然数集N ； ……………………14分 对于任意的自然数c1， cn+1+1

由 c+1 = q，q∈N，n∈N*且q ≥2知{cn+1}是首项为c1+1，公比为q的等比数列，

n

所以{cn}的通项公式为cn = (c1+1) q n–1–1． ……………………16分

21．A.证明： 因为EA切O于A， 所以∠EAB＝∠ACB． 因为∠ACD＝∠ACB，AB＝AD．于是∠EAB＝∠ACD． ………………4分

所以公比q的所有可能的取值的集合{ q | q =

又四边形ABCD内接于O，所以∠ABE＝∠D．所以?ABE∽?CDA．

ABBE?，即AB?DA?BE?CD．所以AB2?BE?CD． ……………10分 CDDA?a0?B.解：设P(x0，对应的变换下变成另一点Q(x，y)，则y0)为圆上任意一点，在矩阵M????0b?于是

?x?ax0，?x??a0??x0?? ，即 又Q(x，y)满足x2?4y2?1， ??y??0b??y??????0??y?bx0， 则a2x02?4b2y02?1，由x02?y02?1且P(x0，b＞0， y0)的任意性及a＞0，?10?1b?，即矩阵M??1?， ………………5分 故a?1，?0?2?2???10?10?1?(??1)(??)， 矩阵M??1?的特征多项式为 f(?)?1?0?20??2?2?1?2?， 令f(?)?0，解得M的特征值?1?1，2?1??0?从而求得对应的一个特征向量分别为?1???，?2???． ………………10分

?0??1??cos??x得曲线C的直角坐标方程为C.解：曲线C:??2cos?可化为?2?2?cos?，由?2?x2?y2，x2?y2?2x， ………………4分 ?2t，?x?t2t2?222直线的参数方程为?代入x?y?2x可得??2t即t?0或2，

22?y?2t?2?由的几何意义可得线段MN的长度为2． ………………10分 D.解：不等式|x?1|≤4的解集为[?5，3]，则T?3， ………………4分

由柯西不等式得 (a?2b?c)2≤(12?22?12)(a2?b2?c2)?18， 所以a?2b?c≤32，

abc22??即a?时，a?2b?c的最大值为32． ，b?2，c?12122 ……………10分 22．解：（1）由点M（2，m）（m＞0）在抛物线C：y2=2px （p＞0）上得

p5

2+ 2 = 2，m2 = 4p，且m＞0，

所以p=1， m=2； …………………………………………………4分 （2）由（1）得抛物线C的方程为y2 =2x， 由条件知，直线AB不与y轴垂直，

设直线AB的方程为x = my+n，且2m+n ≠ 2， 设A，B两点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），

2

将x = my+n代入y= 2x，并整理得

关于y的一元二次方程：y2 – 2my – 2n=0其两根为y1， y2，

所以4m2+8n＞0，且y1 +y2 = 2m，y1 y2 = – 2n； …………………………6分 由MA⊥MB得(x1–2)(x2–2)+ (y1–2)(y2–2) = 0， 而x1= my2+n，x1 = my2+n，y12 = 2x1 ，y22 = 2x2，

(y1 y2)2

所以4 + y1 y2–2(m+1)( y1 +y2) –4n+8 = 0，

当且仅当

所以(n–3)2 = (2m+1) 2，而2m+n≠2，

所以n = 2m+4， n ≠ 3，4m2+8n = 4m2+ 16m+32 = 4(m+2) 2+ 16＞0， 所以直线AB的方程为x = m (y+ 2) +4， 所以直线AB过定点（4，–2）． …………………………10分 23．解：（1）（i）设Fk?{a1，a2，a3，an}，其中1≤a1＜a2＜a3＜…＜an≤m， …，则a2?a1≥2，a3?a2≥2，a4?a3≥2，… ， an?an?1≥2， 累加得m?1≥an?a1≥2(n?1)，

m?1； ………………………………3分 2（ii）从m个元素中，任取n个元素由题设可知，这n个元素任意两个元素都不是相邻的自然数，将剩下的m?nn个元素排序，共形成m?n?1空档，将n个元素放回m?n?1个空档中，共有Cm?n?1放法，所以满足条件的n元

即n≤子集共有Cnm?n?1个；…6分

j?1，2，，3…，n)没有相同的二元子集，否则假如有（2）集合Fi(i?1，2，，3…，k)是n元集合，Fi与Fj(i，相同的二元子集，则Fi与Fj至少有两个相同的元素，与题设矛盾，又因为Fi(i?1，2，，3…，n)的所有二元子

22集个数为kC21，2，，3…，m}中的所有二元子集个数为C2n且互异，{m，从而kCn≤Cm，即有

k≤

m(m?1)． ………10分

n(n?1)