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广东省惠州市2013届高三第二次调研考试数学试题（文科）
第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一．选择题：本大题共l0小题，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．每小题5分，满分50分．
1.命题“ ”的否命题是( )． A. B.
C. D.
2.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文（加密），接受方由密文 明文（解密），已知加密规则为：明文 对应密文 ，例如，明文 对应密文 ．当接受方收到密文 时，则解密得到的明文为（ ）．
A． 4，6，1，7 B． 7，6，1，4 C． 6，4，1，7 D． 1，6，4，7 3.已知向量 ， ，若 ，则实数 的值等于（ ）．
A. B. C. D.
4.已知椭圆的长轴长是短轴长的 倍，则椭圆的离心率等于（ ）． A． B． C． D． 5.在一次射击训练中，一小组的成绩如下表： 环数
已知该小组的平均成绩为 环，那么成绩为 环的人数是（ ）． ． ． ． ． 6. 下列函数为奇函数的是（ ）． ． ． ． ．
7. 下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（ ）．
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
8.如果执行下面的程序框图，那么输出的 （ ）． Ａ．2450 Ｂ.2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652 9.将函数 的图象先向左平移 ，然后将所得图象上
所有的点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），则所得到的图象 对应的函数解析式为（ ）． A． B． C． D．
10.已知全集R，集合 ,若a>b>0， 则有( )．
A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二．填空题：本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．
11．化简： ．
12. 已知 是定义在R上的函数，且对任意 ，都有： ，又 则 ．
13.若实数 满足条件 ，则目标函数 的最大值为_____ ．
14. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系中，圆 上的动点到直线 的距离的最大值是 ．
15. (几何证明选讲选做题)如右图所示， 是圆 的直径， ， ， ，则 ．
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤． 16.（本小题12分） 在△ABC中， 是角 所对的边，且满足 ． (Ⅰ)求角 的大小； (Ⅱ)设 ，求 的最小值.
17．(本小题14分)已知：正方体 ， ，E为棱 的中点． (Ⅰ) 求证： ； (Ⅱ) 求证： 平面 ； （Ⅲ）求三棱锥 的体积．
18．（本小题12分）有朋自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是 ． (Ⅰ)求他乘火车或飞机来的概率； (Ⅱ)求他不乘轮船来的概率；
（Ⅲ)如果他来的概率为 ，请问他有可能是乘何种交通工具来的？
19.（本小题14分）设函数 的图象关于原点对称， 的图象在点 处的切线的斜率为 ，且当 时 有极值． (Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ)求 的所有极值．
20. (本小题14分)已知圆 ： 和圆 ，直线 与圆 相切于点 ；圆 的圆心在射线 上，圆 过原点，且被直线 截得的弦长为 ． (Ⅰ)求直线 的方程 (Ⅱ)求圆 的方程．
21．（本小题14分）已知数列 是等差数列， ；数列 的前n项和是 ，且 ． (Ⅰ) 求数列 的通项公式； (Ⅱ) 求证：数列 是等比数列； (Ⅲ) 记 ，求 的前n项和 ．
广东省惠州市2013届高三第二次调研考试 数学试题（文科）参考答案
答案
1.解析：命题“ ”的否命题是：“ ”，故选C． 2.解析：由已知，得： ，故选 ． 3.解析：若 ，则 ，解得 ．故选 ．
4.解析：由题意得 ，又 ． 故选 ．
5.解析：设成绩为 环的人数是 ，由平均数的概念，得： ．
故选 ．
6.解析： 是偶函数； 是指数函数； 是对数函数．故选 ．
7.解析：①的三视图均为正方形；②的三视图中正视图．侧视图为相同的等腰三角形，俯视图为圆；④的三视图中正视图．侧视图为相同的等腰三角形，俯视图为正方形．故选 ． 8.解析：程序的运行结果是 ，选 ．
9.解析： 的图象先向左平移 ，横坐标变为原来的 倍 ．答案： ． 10.解析：特殊值法：令 ，有 ．故选 ．
题号 11 12 13 14 15 答案
11.解析： ．
12.解析：令 ，则 ，令 ，则 ， 同理得 即当 时， 的值以 为周期，
所以 ．
13.解析：由图象知：当函数 的图象过点 时， 取得最大值为2．
14. (坐标系与参数方程选做题)解析：将极坐标方程转化成直角坐标方程，圆 上的动点到直线 的距离的最大值就是圆心 到直线 的距离 再加上半径 ．故填 ． 15. (几何证明选讲选做题)解析：连结 ， 则在 和 中： ， 且 ，所以 ， 故 ．
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤． 16.析：主要考察三角形中的边角关系、向量的坐标运算、二次函数的最值． 解：(Ⅰ)∵ ，∴ ， ??????3分
又∵ ，∴ ． ?????????????????5分 （Ⅱ） ?????????????????6分 ， ?????????8分 ∵ ，∴ ． ?????10分
∴当 时，取得最小值为 ． ????12分
17．析：主要考察立体几何中的位置关系、体积． 解：(Ⅰ)证明：连结 ，则 // ， ????1分 ∵ 是正方形，∴ ．∵ 面 ，∴ ． 又 ，∴ 面 ． ??????4分 ∵ 面 ，∴ ，
∴ ． ????????????????5分 （Ⅱ）证明：作 的中点F，连结 ．
∵ 是 的中点，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ． ???7分 ∵ 是 的中点，∴ ，
又 ，∴ ．
∴四边形 是平行四边形， // ， ∵ ， ，
∴平面 面 ． ?????????????9分 又 平面 ，∴ 面 ． ??????10分 （3） ． ???????????11分 ． ???????????14分
18．析：主要考察事件的运算、古典概型．
解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件 ，则 ， ， ， ，且事件 之间是互斥的．
(Ⅰ)他乘火车或飞机来的概率为 ???4分 (Ⅱ)他乘轮船来的概率是 ，
所以他不乘轮船来的概率为 ． ??????8分
（Ⅲ)由于 ，
所以他可能是乘飞机来也可能是乘火车或汽车来的． ???????12分 19.析：主要考察函数的图象与性质，导数的应用．
解：(Ⅰ)由函数 的图象关于原点对称，得 ，??????1分 ∴ ，∴ ． ????2分
∴ ，∴ ． ???????????4分 ∴ ，即 ． ????????6分
∴ ． ????????????????????7 0 + 0
↘ 极小 ↗ 极大 ↘
∴ ． ?????????14分
20．析：主要考察直线．圆的方程，直线与圆的位置关系．
解：(Ⅰ)（法一）∵点 在圆 上， ??????????2分
∴直线 的方程为 ，即 ． ???????????5分
（法二）当直线 垂直 轴时，不符合题意． ???????????2分 当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，即 ． 则圆心 到直线 的距离 ，即： ，解得 ，??4分
∴直线 的方程为 ． ?????????????????5分 （Ⅱ）设圆 ： ，∵圆 过原点，∴ ． ∴圆 的方程为 ．??????????7分
∵圆 被直线 截得的弦长为 ，∴圆心 到直线 ： 的距离： ． ????????????????9分
整理得： ，解得 或 ． ???????????10分
∵ ，∴ ． ??????????????????????13分 ∴圆 ： ． ??????????????14分
21．析：主要考察等差、等比数列的定义、式，求数列的和的方法．
解：(Ⅰ)设 的公差为 ，则： ， ，
∴ ． ????????????????4分
（Ⅱ）当 时， ，由 ，得 ． ???????5分 当 时， ， ，
∴ ，即 ． ??????????7分
∴ ． ???????????????????????8分
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列． ?????????????9分 （Ⅲ）由（2）可知： ． ???????????10分 ∴ ． ?????????????11分 ∴ ． ?14分
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