数值分析实验五 非线性方程的求根3

数值分析实验五 非线性方程的求根

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一：实验目的

1. 利用数学软件用一般迭代法、牛顿迭代法求解非线性方程和方程组的根，并对结果作出初步的分析。 二：实验内容及基本知识介绍

一般迭代法的原理： 1. 基本思想：

首先给定一个粗糙的初始值，然后一个迭代公式，反复校正这个初值，将已有近似值逐步精确化，一直到满足精度要求为止。具体地，将方程f?x??0改写成x的表达式

。 x???x? （1） 若

x*???x?*，称

x*为??x?的一个不动点，求f?x?的零点就等价于求的??x?不

*动点。在?a,b?上任取一点

x0，代入??x?求得

x1???x0?，又将x1代入??x?求得：

x2???x1?，如此反复迭代下去。一般地，xk?1???xk?,k?0,1,2... （2）称为迭代

函数，x???x?为迭代公式。若迭代序列（2）收敛，这时

?x?有极限，即limx?xk*k??k，则称迭代方程

x*显然是x???x?的不动点。

?

?x?**?????limxk??lim??xk??limxk?1?x

k???k???k??2. 几何解释：方程x???x?的求根问题，可归结于直线y?x与曲线y???x?的交点的

横坐标。取

x*的近似值

x0。

牛顿迭代法的原理：

1. 基本思想：

将非线性方程 f?x??0逐步转化为某种线性方程来求解。 设已知f?x??0的一个近似根

x0，则函数f?x?在

x0附近可以用一阶泰勒是来近似。

f?x??f?x??f?x??x?x??0。若f?x??0，解得：x?x0000\\?0?x? f?x?f0\0得此根为原方程的近似根

x。然后按上式迭代计算，使形成一种新的迭代公式。

1xk?1?xk?2. 几何意义

?x? k=0,1,… 称为牛顿法或切线法。 f?x?fk\k??y?f?x?f?x??0??,曲线y???y?0f??x与x轴交点的横坐标。

?x?x0?线。x?f\?x0??ff0\0?x0??0,y?f?x??x?x??f?x??过点?x,f?x??的切

\00000x0??x?为切线y?f?x??x?x??f?x?与x轴交点的横坐标。

f?x?\000另外从非线性方程很容易能推广到非线性方程组。 下面就以非线性方程组为例。

三：实验问题及方法、步骤

1. 用一般迭代法求解非线性方程组

?x?0.7sinx?0.2cosy?0 ??y?0.7cosx?0.2siny?0编程如下：

function y=eps f1(x)

y(1)=0.7*sin(x(1))+0.2*cos(x(2)); y(2)=0.7*cos(x(1))-0.2*sin(x(2)); function y=epsiterate(x) y=epsf1(x); n=1;

while (norm(y-x)>=1.0e-6)&(n<=1000) x=y;

y=epsf1(x); n=n+1; end n y

epsiterate([0.5 0.5]) 所得结果为： n= 23

y=0.52652152000860 0.50792019082765

ans=

0.52652152000860 0.50792019082765 epsiterate(-150 30]) n= 23

y=0.52652121822306 0.50792032003913 ans=

0.52652121822306 0.50792032003913 2.用牛顿迭代法求解非线性方程组

?x?0.7sinx?0.2cosy?0 ??y?0.7cosx?0.2siny?0

编程如下：

Function y=fc(x)

y(1)=x(1)-0.7*sin(x(1))+0.2*cos(x(2)); y(2)= x(2)-0.7*cos(x(1))-0.2*sin(x(2)); y=[y(1) y(2)]; function y=df2(x)

y=[1-0.7*cos(x(1)) 0.2*sin(x(2)); 0.7*sin(x(1)) 1+0.2*cos(x(2))]; function y=newtoneqs(x0) x1=x0-fc(x0)*inv(df2(x0)); n=1;

while(norm(x1-x0)>=1.0e-6)&(n<=10000000000) x0=x1;

x1=x0-fc(x0)*inv(df2(x0)); n=n+1; end n x1

x0=[5 10]; 所得结果为： newtoneqs(x0) n= 18 x1=

0.52652329993137 0.50791951627242 x0=[0.5 0.5]; newtoneqs(x0) n= 12 x1=

0.52652301348344 0.50791962157383

四 计算结果分析

实验结果表明，上述迭代法解非线性方程组时，初始值的选取对算法的迭代步骤都有影响，有时甚至不会收敛，但相比较而言，牛顿迭代法的收敛性较好。

五思考与提高

一般迭代法的效果并不是总能令人满意的。有时迭代下去已经没有必要，因为结果显然会越来越大，不可能趋于某个极限。这种不收敛的迭代过程称作是发散的。一个发散的迭代过程，总是进行了千百次迭代，其结果也是毫无价值的。

在迭代法中以牛顿法最实用，它在单根附近具有2阶收敛，但应用时要选取较好的初始近似才能保证迭代收敛。

非线性方程组的解法和理论是当今数值分析研究的重要课题之一，新方法不断出现，它也是科学计算经常遇到的。