《作业推荐》高中数学人教A版(2019) 选择性必修(第一册)同步练习题：2.4圆的方程综合篇

8.若圆??2+??2?2???2?????=0上的点到直线??+???10=0的最大距离与最小距离的差为6，则实数??的值是（ ） A.?34 【答案】D 【解析】 【分析】

先将圆的方程化为标准方程，设圆心到直线的距离??，则圆??2+??2?2???2?????=0上的点到直线??+???10=0的最大距离为??+??，最小距离为?????（??为圆的半径），根据已知条件求出半径，从而可求得??的值. 【详解】

圆的方程化为标准方程得(???1)2+(???1)2=??+2，则??+2>0???>?2，

8√2B.1 C.4 D.7

圆的半径为??=√??+2，设圆心(1,1)到直线??+???10=0的距离为??，??=

=4√2

[来源学§科§网]

当??>??时，圆??2+??2?2???2?????=0上的点到直线??+???10=0的最大距离为??+??，最小距离为?????，由已知条件得(??+??)?(?????)=2??=6???=3， 即√??+2=3，解得??=7.

8√2此时，??==4√2>3，直线??+???10=0与圆(???1)2+(???1)2=9相离，合乎题意.

当??≤??时，圆??2+??2?2???2?????=0上的点到直线??+???10=0的最大距离为??+??，最小距离为0，由已知条件得??+??=6???=6?4√2<4√2，舍去 综上，??=7 故选：D. 【点睛】

本题考查了圆上的点到直线距离的最大值和最小值的求解，考查运算求解能力，属于中等题. 二、填空题(共 35 分)

9.已知圆??:??2+??2?2??+4??=4，则圆心??的坐标为______；圆??的半径为______． 【答案】 (1). (1,?2) (2). 3 【解析】 【分析】

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将圆的一般方程通过配方化成标准方程形式，即可得到答案. 【详解】

因为??2+??2?2??+4??=4?(???1)2+(??+2)2=9， 所以圆心??(1,?2)，半径??=3.

故答案为：(1,?2)；3. 【点睛】

本题考查圆的普通方程与标准方程的互化，考查

对圆方程形式的理解，属于基础题.

10.过点(3,√5)作圆??：(???1)2+??2=??2的切线有且只有一条，则圆??的半径为______. 【答案】3 【解析】 【分析】

根据题意说明点在圆上，代入点的坐标列方程求解即可. 【详解】

解：由已知得点(3,√5)在圆??：(???1)2+??2=??2上， 得(3?1)2+5=??2，∴??=3， 故答案为：3. 【点睛】

本题考查直线和圆的位置关系，推出点在圆上是关键，是基础题.

11.已知圆??：??2+??2=4，在圆??内随机取一点??，并以??为中点作弦????，则弦长|????|≤2√3的概率为_______； 【答案】

43

【解析】 【分析】

根据|????|≤2√3，可得|????|≥1，再根据几何概型的概率公式可得答案. 【详解】

因为??为中点作弦????，所以????⊥????，

|????|2

)2

依题意可知|????|=√4?(

≥√4?3=1，即|????|≥1，

所以动点??在圆??内，在以??为圆心，1为半径的圆外或圆上，

??×22???×12

??×22

34

根据几何概型可知，所求概率为：

34

=.

故答案为： 【点睛】

本题考查了几何概型，利用面积比求概率，考查了圆的性质，属于中档题.

????? +????? ???? |的最大值为__________. 12.已知点??,??,??在圆??2+??2=1上运动，且????⊥????，若点??的坐标为(2,0)，则|????????+?????【答案】7 【解析】 【分析】

????? +???????? |=|2????????? +????????? +?????? |≤4+|????????? |，只要求出|????????? |的最小值，即可得出结论. 由已知，????为直径，|????????【详解】

????? +????????? |=|2????????? +????????? +????????? |≤4+|????????? |， 依题意得，????为直径，所以|????????? |≤7， 所以当??为点(?1,0)时，4+|????????? +????? ???? |的最大值为7. 所以|????????+?????故答案为:7. 【点睛】

[来源学_科_网Z_X_X_K]

本题考查向量知识的应用，以及定点到圆上点距离的最值，考查分析问题和解决问题能力，属于中档题.

13.阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数??(??>0,??≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点??、??间的距离为2，动点P满足|????|=3，当??,??,??不共线时，三角形??????面积的最大值是_______________.

34

|????|

【答案】 【解析】 【分析】

首先求动点??的轨迹方程，再根据圆的性质求三角形面积的最大值. 【详解】

以????所在直线为??轴，????的垂直则??(?1,0)，??(1,0)，??(??,??)

√(??+1)2+??2√(???1)2+??2平分线为??轴，建立平面直角坐标系，

∴=3 ，

+9??2 ，

化简为：(??+1)2+??2=9(???1)2

524

916

整理为：(???)+??2=

，

圆是以(,0)为圆心，半径??=，

4

4

53

∵|????|=2，

∴当点??到????的距离最大时，三角形??????面积最大，距离的最大值是??=，

4

3

面积的最大值是??=×2×=.

2

4

4

133

故答案为： 4

3

【点睛】

本题考查轨迹方程，与圆有关的面积的最值，意在考查数形结合分析问题的能力，属于中档题型. 三、简答题(共 25 分)

14.已知圆??1：??2+??2+6???2??+1=0和圆??2：??2+??2+2??+4??+1=0，点??，??分别在圆??1和圆??2上. （1）求圆??1的圆心坐标和半径； （2）求|????|的最大值.

【答案】（1）??1(?3,1)，半径为??1=3；（2）√13+5． 【解析】 【分析】

（1）圆方程配方后化为标准方程，可得圆心坐标和半径； （2）求出圆心距，圆心距加上两个半径即为|????|的最大值． 【详解】

（1）圆??1标准方程是(??+3)2+(???1)2=9，圆心为??1(?3,1)，半径为??1=3， （2）圆??2的标准方程是(??+1)2+(??+2)2=4，圆心为??2(?1,?2)，半径为??2=2． 由（1）|??1??2|=√(?3+1)2+(1+2)2=√13， 所以|????|max=|??1??2|+??1+??2=√13+5． 【点睛】

本题考查圆的一般方程，考查两圆位置关系问题．圆的一般方程配方后成标准方程可得圆心坐标和半径，两圆上的点间距离的最值可由圆心距离与半径运算求得． 15.设曲线??:??2+??2?2????+5=0.

（1）若曲线C表示圆，求实数a的取值范围；

（2）当??=3时，求过点??(5,4)且与圆C相切的直线方程. 【答案】（1）??√5（2）3???4??+1=0和??=5 【解析】 【分析】

（1）先化标准形式，再半径大于零列不等式，解得结果；

（2）先验证??=5是否与圆C相切，再考虑切线斜率存在的倾斜，根据圆心到切线距离列方程解得结果.