2017届高三徐州三模-解析版

1cos?(sin2???)2?，………………………………………………12分 2sin2?111ππ因为≤??，所以sin2?≤，所以sin2????0，故f'(?)?0，

22262ππ所以函数f(?)在[,)上单调减．

62π3π所以当??时，f(?)有最大值?，此时AB?2sin??1(m)． …14分

646ππ答：（1）S关于?的函数关系式为S?sin2??2?，定义域为[,)；

62（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，AB的长度为1m．………16分

19．（1）由3Sn?1?2Sn?Sn?2?an，得2(Sn?1?Sn)?Sn?2?Sn?1?an，

即2an?1?an?2?an，所以an?2?an?1?an?1?an． ……………………………2分 由a1?1，S2?4，可知a2?3．

所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．

故{an}的通项公式为an?2n?1．………………………………………………4分 （2）证法一：设数列{bn}的公差为d，则Tn?nb1?由（1）知，Sn?n2． 因为Sn?Tn，所以n2?nb1?n(n?1)d， 2n(n?1)d，即(2?d)n?d?2b1?0恒成立， 2?2?d≥0,?d≤2,所以?…………………………………………………6分 即?d?2b?0,2b?d.1??1又由S1?T1，得b1?1，

所以an?bn?2n?1?b1?(n?1)d?(2?d)n?d?1?b1

≥(2?d)?d?1?b1?1?b1?0．

所以an?bn，得证． …………………………………………………………8分 证法二：设{bn}的公差为d，假设存在自然数n0≥2，使得an0≤bn0，

则a1?(n0?1)?2≤b1?(n0?1)d，即a1?b1≤(n0?1)(d?2)，

因为a1?b1，所以d?2．……………………………………………………6分

n(n?1)dd所以Tn?Sn?nb1?d?n2?(?1)n2?(b1?)n，

222d?1?0，所以存在N0?N*，当n?N0时，Tn?Sn?0恒成立． 2这与“对任意的n?N*，都有Sn?Tn”矛盾！

所以an?bn，得证． …………………………………………………………8分

因为

（3）由（1）知，Sn?n2．因为{bn}为等比数列，且b1?1，b2?3，

所以{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列．

3n?1所以bn?3，Tn?．…………………………………………………10分

2an?2Tn2n?1?3n?13n?2n?26n2?2n?2?n?1?n?1?3?n?1则，

bn?2Sn3?2n23?2n23?2n2a?2Tn因为n?N*，所以6n2?2n?2?0，所以n?3．…………………12分

bn?2Sna?2Tn而ak?2k?1，所以n． ?1，即3n?1?n2?n?1?0（*）

bn?2Sn当n?1，2时，（*）式成立；………………………………………………14分 当n≥2时，设f(n)?3n?1?n2?n?1，

n?1则f(n?1)?f(n)?3n?(n?1)2?n?(3n?1?n2?n?1)?2(3n?1?n)?0， 所以0?f(2)?f(3)?L?f(n)?L．

故满足条件的n的值为1和2．………………………………………………16分

1120．（1）当m?1时，f(x)??xlnx，f'(x)??2?lnx?1．……………………2分

xx因为f'(x)在(0,??)上单调增，且f'(1)?0，

所以当x?1时，f'(x)?0；当0?x?1时，f'(x)?0．

所以函数f(x)的单调增区间是(1,??)．……………………………………4分

m2x2?mmm（2）h(x)??2x?2，则h'(x)?2?2?，令得， h'(x)?0x?2xx2x当0?x?当x?mm时，h'(x)?0，函数h(x)在(0,)上单调减； 22mm时，h'(x)?0，函数h(x)在(,??)上单调增．

22m)?22m?2．………………………………………6分 2m4，即m≥时， 29m2(2m?1)?2(2m?1)?1]?3 2，2所以[h(x)]min?h(①当2(2m?1)≥函数y?h(h(x))的最小值h(22m?2)?2[即17m?26m?9?0，解得m?1或m?②当0?2(2m?1)?9（舍），所以m?1；………8分 17m14，即?m?时， 249m35． )?2(2m?1)?2，解得m?（舍）

224综上所述，m的值为1．………………………………………………………10分

函数y?h(h(x))的最小值h(（3）由题意知，kOA?mlnx?2，． ?lnxk?OB2xx考虑函数y?所以函数y?lnx?23?lnx，因为y'??0在[1,e]上恒成立， 2xxlnx?21在[1,e]上单调增，故kOB?[?2,?]．…………………12分 xe11m所以kOA?[,e]，即≤2?lnx≤e在[1,e]上恒成立，

2x2x2即?x2lnx≤m≤x2(e?lnx)在[1,e]上恒成立． 2x2设p(x)??x2lnx，则p'(x)??2xlnx≤0在[1,e]上恒成立，

2所以p(x)在[1,e]上单调减，所以m≥p(1)?设q(x)?x2(e?lnx)，

1． …………………………14分 2则q'(x)?x(2e?1?2lnx)≥x(2e?1?2lne)?0在[1,e]上恒成立， 所以q(x)在[1,e]上单调增，所以m≤q(1)?e．

1综上所述，m的取值范围为[,e]． ………………………………………16分

2注意：20（3）解法较多，各种方法按照3个得分点，每个2分，对应给分。

数学(附加题)参考答案与评分标准

21．A．连结AN，DN．

因为A为弧MN的中点，所以?ANM??ADN． 而?NAB??NDB，

所以?ANM??NAB??ADN??NDB，

即?BCN??ADB． ………………………5分 又因为?ACN?3?ADB，

所以?ACN??BCN?3?ADB??ADB?180?， 故?ADB?45?．……………………………10分

?1??a3??1??a?6??8?B．因为A??????2???2?2d???4?， 22d??????????A C M O N B D (第21(A)题)

?a?6?8,?a?2,?23?所以? 解得? 所以A???．……………………………5分 212?2d?4,d?1.????

??2?3所以矩阵A的特征多项式为f(?)??(??2)(??1)?6??2?3??4，

?2??1令f(?)?0，解得矩阵A的特征值为?1??1，?2?4．………………………10分 C．以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，

则点A(2,)的直角坐标为(0,2)，直线l的直角坐标方程为x?y?0．…………4分

π2AB最短时，点B为直线x?y?2?0与直线l的交点，

?x?y?2?0,?x??1,解?得? 所以点B的直角坐标为(?1,1)．……………………8分

x?y?0y?1.??34D．因为a3?b3?c3?a2b2c2≥33a3b3c3，所以abc≥3，…………………………5分

所以a?b?c≥33abc≥333，

所以点B的极坐标为(2,π)．……………………………………………………10分

当且仅当a?b?c?33时，取“?”．……………………………………………10分 22．（1）因为直线y?n与x??1垂直，所以MP为点P到直线x??1的距离．

连结PF，因为P为线段MF的中垂线与直线y?n的交点，所以MP?PF． 所以点P的轨迹是抛物线．……………………………………………………2分 焦点为F(1,0)，准线为x??1． 所以曲线E的方程为y2?4x． ………………………………………………5分 （2）由题意，过点M(?1,n)的切线斜率存在，设切线方程为y?n?k(x?1)，

?y?kx?k?n,2ky?4y?4k?4n?0， 联立? 得2y?4x,?所以?1?16?4k(4k?4n)?0，即k2?kn?1?0（*），……………………8分

因为?2?n2?4?0，所以方程（*）存在两个不等实根，设为k1,k2，

因为k1?k2??1，所以?AMB?90?，为定值． ……………………………10分

23．（1）f(2)=1，f(3)=6，…………………………………………………………2分

f(4)=25． ……………………………………………………………………4分 （2）解法一：设集合A中有k个元素，k=1,2,3,L,n-1．

则与集合A互斥的非空子集有2n-k-1个．…………………………………6分

1n-1kn-k1n-1kn-kn-1kCn]．…………………8分 于是f(n)=?Cn(2-1)=[邋Cn2-2k=12k=1k=1因为邋C2knk=1n-1n-kn=k=0n-knn0nnnnCk-C0n2n2-Cn2=(2+1)-2-1=3-2-1，

邋Ck=1n-1knn=k=00nnCkn-Cn-Cn=2-2，

1n1[(3-2n-1)-(2n-2)]=(3n-2n+1+1)．………………10分 22解法二：任意一个元素只能在集合A，B，C?eU(AUB)之一中，

所以f(n)=则这n个元素在集合A，B，C中，共有3n种；…………………………6分 其中A为空集的种数为2n，B为空集的种数为2n，

所以A，B均为非空子集的种数为3n-2?2n1，………………………8分 又(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”， 所以f(n)=

1n(3-2n+1+1)．………………………………………………10分 2