2017届高三徐州三模-解析版

数学Ⅱ(附加题)

21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．．．作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．

A．[选修4?1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，圆O的弦AB，MN交于点C，且A为弧MN的中点，点D在弧BM上．若?ACN?3?ADB，求?ADB的度数． A N B C O M

D

(第21(A)题) B．[选修4?2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

?a3??1??8?已知矩阵A??，若A??2???4?，求矩阵A的特征值． 2d??????

C．[选修4?4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

π2线段AB最短时，求点B的极坐标．

在极坐标系中，已知点A(2,)，点B在直线l:?cos???sin??0(0≤??2π)上．当

D．[选修4?5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知a，b，c为正实数，且a3?b3?c3?a2b2c2．求证：a?b?c≥333．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写．．．．．．．出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，点F(1,0)，直线x??1与动直线y?n的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y?n的交点为P． （1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）过动点M作曲线E的两条切线，切点分别为A，B，求证：?AMB的大小为

定值． y

P M y?n

x??1 O F x (第22题)

23．（本小题满分10分）

已知集合U?{1,2,L,n}(n?N?,n≥2)，对于集合U的两个非空子集A，B，若

．记集合U的所有“互斥子集”AIB??，则称(A,B)为集合U的一组“互斥子集”

的组数为f(n)(视(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”)． （1）写出f(2)，f(3)，f(4)的值； （2）求f(n)．

数学参考答案与评分标准

一、填空题

2671 4． 5．6 6．(或5.2) 2565?1129π7π1y2π7π7．[?,](或?≤≤) 8．(,)(或[,]) 9．10．3 12123x312122 33411．2 12．(1,5](或1?a≤5) 13．[?2,2](或?2≤m≤2) 14．2?3 二、解答题

415．（1）在△ABC中，cosA?，A?(0,π)，

543所以sinA?1?cos2A?1?()2?．……………………………………2分

5512同理可得，sin?ACB?． …………………………………………………4分

13所以cosB?cos[π?(A??ACB)]??cos(A??ACB)

?sinAsin?ACB?cosAcos?ACB ………………………………6分 3124516?????．……………………………………………8分 51351365BC1312（2）在△ABC中，由正弦定理得，AB?sin?ACB???20．……10分

313sinA51又AD?3DB，所以BD?AB?5． ………………………………………12分

41．5 2．1 3．

在△BCD中，由余弦定理得，CD?BD2?BC2?2BD?BCcosB

16?52?132?2?5?13? 65?92． ………………………………14分

16．（1）因为ABCD是矩形，所以AB∥CD．…………………………………………2分

又因为AB?平面PDC，CD?平面PDC，

所以AB∥平面PDC．…………………………………………………………4分 又因为AB?平面ABEF，平面ABEFI平面PDC?EF，

所以AB∥EF．…………………………………………………………………6分 （2）因为ABCD是矩形，所以AB?AD． ………………………………………8分

又因为平面PAD?平面ABCD，平面PADI平面ABCD?AD，

AB?平面ABCD，所以AB?平面PAD． …………………………………10分 又AF?平面PAD，所以AB?AF． ………………………………………12分 又由（1）知AB∥EF，所以AF?EF． ……………………………………14分

17．（1）因为a2?4，b2?3，所以c?a2?b2?1，所以F的坐标为(1,0)，……1分

设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线l的方程为x=my+1， 代入椭圆方程，得(4+3m2)y2+6my-9=0，

-3m+61+m2-3m-61+m2则y1=，y2=． …………………………4分

4+3m24+3m2-3m-61+m2-3m+61+m2+2?若QF?2PF，则4+3m24+3m2解得m=0，

25，故直线l的方程为5x-2y-5=0．……………………6分 5-6m-9（2）由（1）知，y1+y2=，， yy=124+3m24+3m2-9m3所以my1y2==(y1+y2)，…………………………………………8分

4+3m22ky1x-2y1(my2-1)所以1= ………………………………………12分 ?2k2x1+2y2y2(my1+3)3(y1+y2)-y11=2=， 3(y1+y2)+3y23211故存在常数?=，使得k1=k2．…………………………………………14分

3318．（1）过点O作OH?FG于点H，则?OFH??EOF??，

所以OH?OFsin??sin?，

FH?OFcos??cos?．……………………………2分 所以S?4S△OFH?4S扇形OEF

1?2sin?cos??4?(?)

2?sin2??2?，………………………………6分 AB11ππ≥，所以sin?≥，所以定义域为[,)．……………………8分 因为

AD2262（2）矩形窗面的面积为S矩形?AD?AB?2?2sin??4sin?．

则透光区域与矩形窗面的面积比值为设f(?)?2sin?cos??2?cos??．…10分 ??4sin?22sin?cos??ππ，≤??． ?22sin?621sin???cos?则f'(?)??sin??

22sin2?sin???cos??sin3? ?22sin?sin?cos2???cos? ?22sin?