湖南省株洲二中2019年高一下学期第一次月考数学试卷 Word版含解析

点评：本题考查的知识是数量积判断两个平面向量的垂直关系，向量的模，平行向量与共线向量，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直，对应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键．

17．已知sinα是方程5x﹣7x﹣6=0的根，α是第三象限角． （1）分别求sinα，cosα，tanα的值；

2

（2）求．

考点：运用诱导公式化简求值． 专题：三角函数的求值． 分析：（1）由条件求得sinα的值，再利用铜价三角函数的基本关系求得cosα、tanα的值． （2）由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．

2

解答： 解：（1）∵sinα是方程5x﹣7x﹣6=0的根，α是第三象限角，∴﹣1＜sinα＜0，

且 sinα=∴cosα=﹣

，∴sinα=2，或sinα=﹣，

=﹣，tanα=

=．

（2）==﹣

1．

点评：本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．

18．已知定义在x∈[﹣

，

]上的函数f（x）=sin（π﹣2x）．

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）若方程f（x）=a只有一个解，求实数a的取值范围．

考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：（1）由条件可得f（x）=sin2x，根据正弦函数的周期性求得它的最小正周期，根据正弦函数的单调性求得它的增区间．

（2）由题意可得函数f（x）的图象和直线y=a在[﹣a的范围．

解答： 解：（1）定义在[﹣它的最小正周期为

=π，

，

，]上只有一个交点，数形结合可得

]上的函数f（x）=sin（π﹣2x）=sin2x，

令2kπ﹣k∈z．

≤2x≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，

再结合x∈[﹣，]，可得函数的增区间为[﹣，]．

（2）由方程f（x）=a只有一个解， 可得函数f（x）的图象和直线y=a在[﹣x∈[﹣

，

]?2x∈[﹣

，π]?sin2x∈[﹣，0）或a=1，

≤a＜0或a=1}．

，

]上只有一个交点， ，1]，

如图所示：可得a∈[﹣

即实数a的取值范围为{a|﹣

点评：本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、

数形结合的数学思想，属于中档题． 19．（13分）已知A，B，C三点的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），其中＜α＜（1）若|（2）若

． |=|?

|，求α的值； =﹣1，求

的值．

考点：平面向量数量积的运算；向量的模；三角函数的化简求值． 专题：平面向量及应用．

分析：（1）由题意求得可得 α 的值．

和 的坐标，再根据||=||，化简可得tanα=1．再由＜α＜，

（2）由=﹣1，求得cosα+sinα=，平方可得 2sinαcosα=﹣，再根据

=2sinαcosα 求得结果．

解答： 解：（1）由题意可得，若|再由

|=|

2

=（ cosα﹣3，sinα），

2

2

2

=（cosα，sinα﹣3），

|，则有 （cosα﹣3）+sinα=cosα+（sinα﹣3），化简可得 sinα=cosα，∴tanα=1．

，可得 α=

．

＜α＜

（2）由（1）可得=（ cosα﹣3，sinα）?（cosα，sinα﹣3）=cosα（cosα﹣3）+sinα（sinα

﹣3）=1﹣3（cosα+sinα）=﹣1，

∴cosα+sinα=，平方可得 2sinαcosα=﹣． ∴

=

=2sinαcosα=﹣．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，根据三角函数的值求角，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题． 20．（13分）某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t（0≤t≤24）（小时）的函数，记作y=f（t），表是某天各时的浪高数据： t（时） y（米） 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1.0 18 0.5 21 0.99 24 1.5 （1）选用一个函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y （米）与t时间（小时）的函数关系；

（2）依据规定，当海浪高度不少于1米时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8时至晚上20时之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题：计算题；三角函数的图像与性质． 分析：（1）依题意，知周期T=12，从而可求ω；再由t=0，y=1.5与t=3，y=1.0可求得A与b，

从而可得函数y=Asin（ωt+（2）由题意知，sin（

t+

）+b的表达式； ）+1＞1?cos（

t）＞0?12k﹣3＜t＜12k+3（k∈Z），与0≤t≤24

联立即可求得答案． 解答： 解：（1）y=f（t）的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b， 由表中数据，知周期T=12， ∴ω=

=

=

．

由t=0，y=1.5，得A+b=1.5﹣﹣①， 由t=3，y=1.0，得b=1.0﹣﹣②， 由①②联立解得A=，b=1， ∴振幅为，函数表达式为y=sin（

t+

）+1．

t+

）+1≥1，得cos（

t）≥0，

（2）由题意知，当y≥1时才可对冲浪者开放，由sin（∴2kπ﹣

≤

t≤2kπ+

，

即12k﹣3≤t≤12k+3（k∈Z）﹣﹣③， ∵0≤t≤24，

∴可令③中k分别为0，1，2，得0≤t≤3或9≤t≤15或21≤t≤24．

∴在规定时间上午8：00到晚上20：00之间，有6个小时可供冲浪者运动，即上午9；00到下午15：00．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查方程思想与解决实际应用问题的能力，属于难题． 21．（13分）如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且（1）求（2）设∠AOP=

的值；

，

，四边形OAQP的面积为S，

．

，求f（θ）的最值及此时θ的值．

考点：三角函数的最值；三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用． 专题：计算题；三角函数的求值．

分析：（1）依题意，可求得tanα=2，将

2

中的“弦”化“切”即可求得其值；

sinθ；θ∈[

，

]?≤sinθ≤1，

（2）利用向量的数量积的坐标运算可求得f（θ）=﹣sinθ+

利用正弦函数的单调性与最值即可求得f（θ）的最值及此时θ的值．