湖南省株洲二中2019年高一下学期第一次月考数学试卷 Word版含解析

10．已知非零向量、满足||=||，若函数f（x）=x+||x+2?x+1在x∈R上有极值，

32

则向量、的夹角θ的取值范围是( ) A．[0，

]

B．（0，

]

C．（

，

]

D．（

，π]

考点：数量积表示两个向量的夹角． 专题：平面向量及应用．

分析：问题转化为导函数有两不同的零点，可得△＞0，代入已知数据由数量积的运算解不等式可得．

解答： 解：∵函数f（x）=x+||x+2?x+1在x∈R上有极值， ∴导函数f′（x）=x+2||x+2?有两不同的零点， ∴△=4||﹣2?＞0， ∵||=

2

2

2

32

||，

∴4||﹣8||?||cosθ＞0， ∴12||﹣8∴cosθ＜

2

||cosθ＞0， =

，π]

2

∴向量、的夹角θ的取值范围是（

故选：D

点评：本题考查数量积与向量的夹角，涉及函数与导数，属基础题．

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11．cos（﹣

）﹣sin（﹣

）的值是

．

考点：两角和与差的正弦函数． 专题：三角函数的求值．

分析：根据三角函数值进行计算即可．

解答： 解：cos（﹣）﹣sin（﹣）=cos+sin=，

故答案为：；

点评：本题主要考查三角函数值的计算，比较基础．

12．在圆中，等于半径长的弦长所对的圆心角的弧度数是

．

考点：弧长公式．

专题：三角函数的求值．

分析：直接利用半径长的弦长与两条半径构造等边三角形，求出圆心角即可． 解答： 解：因为一条长度等于半径的弦与两条半径构造等边三角形，

等边三角形的每一个内角为60°即所对的圆心角为故答案为：

；

弧度．

弧度．

点评：本题考查弧度制的应用，基本知识的考查．

13．已知平面上三点A、B、C满足|

|=6，|

|=8，|

|=10，则

?

+

?

+

?

的值

等于100．

考点：平面向量数量积的运算． 专题：计算题；平面向量及应用．

分析：运用勾股定理的逆定理，可得AB⊥BC，再由向量的数量积的定义和锐角三角函数的定义，计算即可得到．

解答： 解：由于|

2

2

2

|=6，||=8，||=10，

则6+8=10，可得AB⊥BC， 则=80×

?

++60×

?

+

?

=0+8×10cosC+6×10cosA

=100．

故答案为：100．

点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，同时考查锐角三角函数的定义，考查运算能力，属于基础题．

14．sin1°+sin2°+sin3°+…+sin89°=

2

2

2

2

．

考点：同角三角函数基本关系的运用． 专题：三角函数的求值．

分析：利用三角函数的平方关系式，sinα+cosα=1，结合角的互余关系，把22222222

sin1°+sin2°+sin3°+…+sin89°转化为cos1°+cos2°+cos3°+…+cos89°，求和即可求出原式的值．

2222

解答： 解：设S=sin1°+sin2°+sin3°+…+sin89°，

22222222

又∵S=sin89°+sin88°+sin87°+…+sin1°=cos1°+cos2°+cos3°+…+cos89°， ∴2S=89，

22

则S=．

故答案为：

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

15．如图，两块全等的等腰直角三角形拼在一起，若

，则λ+k=

．

考点：向量在几何中的应用． 专题：计算题．

分析：首先建立如图所示的坐标系，设等腰直角三角形的腰长为a，则BD=

a表示出D点

的坐标和向量，，的坐标，结合条件，求出λ，k，从而得出λ+k．

解答： 解：建立如图所示的坐标系， 设等腰直角三角形的腰长为a，则BD=∴AF=AB+BF=a+∴D点的坐标为（a+=（a+∵∴（a+∴λ=a+

a，a，k=

． a，

a），， a， a，a） =（a，0），

a，

=（0，a），

a）=λ（a，0）+k（0，a）， a，

则λ+k=

故答案为：

点评：本小题主要考查向量的坐标表示、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

三、解答题（共6小题，满分75分）

16．已知平面向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R）． （1）若⊥，求x的值； （2）若∥，求|﹣|．

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平行向量与共线向量． 专题：计算题；分类讨论．

分析：（1）由⊥，?=0，我们易构造一个关于x的方程，解方程即可求出满足条件的x的值．

（2）若∥，根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，构造一个关于x的方程，解方程求出x的值后，分类讨论后，即可得到|﹣|． 解答： 解：（1）∵⊥，

∴?=（1，x）?（2x+3，﹣x）=2x+3﹣x=0 整理得：x﹣2x﹣3=0 解得：x=﹣1，或x=3 （2）∵∥

∴1×（﹣x）﹣x（2x+3）=0 即x（2x+4）=0 解得x=﹣2，或x=0

当x=﹣2时，=（1，﹣2），=（﹣1，2） ﹣=（2，﹣4） ∴|﹣|=2

2

2

当x=0时，=（1，0），=（3，0） ﹣=（﹣2，0） ∴|﹣|=2 故|﹣|的值为2

或2．