统计学第5-6章 正态分布、 统计量及其抽样分布

(X?Y)?(?1??2)s11:t(m?n?2)pm?n

22s2?(m?1)s1?(n?1)s2p其中，

(m?n?2)

简要证明：

2X:N(?21,?)?X:N(?1,?m)

Y:N(?22,?2)?Y:N(?2,?n)

独立，

X?Y:N(??2?21??2,m?n)

(m?1)s212?2:?(m?1)

(n?1)s22?2:?2(n?1)

(m?1)s21n?1)s222可加性

?2?(?2:?(m?n?2)

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(X?Y)?(?1??2)?2?m(m?1)s12???2n:t(m?n?2)2(n?1)s2?整理得

2?2

m?n?2?(X?Y)?(?1??2)(m?1)s?(n?1)sm?n?22p21212211?mn22

:t(m?n?2)

(m?1)s?(n?1)ss?设(m?n?2)(X?Y)?(?1??2):t(m?n?2)11即

sp?mn推论4：

2X,X,L,XN(?,?设?111)的一个样本， 2m?是取自正态总体

?Y1,Y2,L,Yn?是取自正态总体N(?2,?22)的一个样本，

X

与

Y相互独立，那么

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s/?:F(m?1,n?1) s/?简要证明：

正态

21222122X:N(?1,?)21??(m?1)s21?21:?2(m?1)

Y:N(?2,?)(m?1)s?21222(n?1)s22?2:?2(n?1)

?2122/(m?1):F(m?1,n?1)/(n?1)

(n?1)s?212222即

s/?:F(m?1,n?1)s/?2122

非正态总体的情形

定理：设

?X1,X2,L,Xn?是取自总体

X的一个样本，当

n较大

时，近似地有

X??:N(0,1)①

?/n

19

②

X??:N(0,1)

s/n 20