2020年中考数学复习专题练：《三角形综合 》(包含答案)

7．解：（1）如图，作AB，AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OB长为半径作圆，⊙O为图形G；

（2）直线BF与图形G交点只有一个， 理由如下：∵AD⊥AB， ∴∠BAD＝90°，

∴BD是直径，∠ADB+∠ABD＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC，

∵∠ACB＝∠ADB，∠ABF＝∠ABC， ∴∠ABF＝∠ADB， ∴∠ABF+∠ABD＝90°， ∴∠DBF＝90°， ∴BD⊥BF，且OB是半径， ∴BF是圆O的切线，

∴直线BF与图形G交点的只有一个； （3）∵cos∠ABF＝cos∠ADB＝＝∴BD＝5，

，

∴AB＝＝＝3，

∵∠ABE＝∠ADB，∠BAE＝∠BAD＝90°， ∴△ABE∽△ADB， ∴∴

，

∴AE＝， ∴DE＝AD﹣AE＝．

8．解：（1）∵△ABC是等边三角形，AB＝8，AH⊥BC， ∴BC＝AC＝AB＝8，BH＝HC＝4，∠HAC＝30°， ∴AH＝∴DH＝4

HC＝4

﹣x，

，

∴DC2＝DH2+CH2＝（4﹣x）2+16

∵△CDE是等边三角形， ∴y＝S△CDE＝

CD2＝

[（4

﹣x）2+16]＝x2﹣6x+16（0≤x≤4）

（2）∵当△CDE的面积等于△ABC的面积的， ∴∴x＝当x＝

x2﹣6x+16

或

＝×，

×64，

时，即AD＝，如图1，

∴DH＝AH﹣AD＝，

∵tan∠DCH＝＝＝，

∴∠DCH＝30°，

∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCH＝30°， ∴∠ACE＝∠DCE+∠ACD＝90°， ∴CE⊥AC； 当x＝

时，即AD＝

，如图2，

∴DH＝AD﹣AH＝，

∵tan∠DCH＝＝＝，

∴∠DCH＝30°，

∴∠BCE＝∠DCH+∠DCE＝90°， ∴CE⊥BC．

9．解：（1）∵在△ABC中，AC＝1，AB＝x，BC＝3﹣x．

，

解得1＜x＜2；

（2）①若AC为斜边，则1＝x2+（3﹣x）2，即x2﹣3x+4＝0，无解， ②若AB为斜边，则x2＝（3﹣x）2+1，解得x＝，满足1＜x＜2， ③若BC为斜边，则（3﹣x）2＝1+x2，解得x＝，满足1＜x＜2，

综上，x＝或；

（3）在△ABC中，作CD⊥AB于D， 设CD＝h，△ABC的面积为S，则S＝xh， ①若点D在线段AB上， 则

+

＝x，

+1﹣h2，

∴（3﹣x）2﹣h2＝x2﹣2x即x＝3x﹣4，

∴x2（1﹣h2）＝9x2﹣24x+16， 即x2h2＝﹣8x2+24x﹣16．

∴S2＝x2h2＝﹣2x2+6x﹣4＝﹣2（x﹣）2+（≤x＜2）， 当x＝时（满足≤x＜2），S2取最大值，从而S取最大值②若点D在线段MA上， 则

同理可，得

﹣

＝x，

；

S2＝x2h2＝﹣2x2+6x﹣4

＝﹣2（x﹣）2+（1＜x≤）， 易知此时S＜

，

．

综合①②得，△ABC的最大面积为

10．解：（1）由题意PC＝1+t，CQ＝3﹣t，

在Rt△PQC中，∵∠C＝90°，PQ＝3，PC＝1+t，CQ＝3﹣t， ∴32＝（1+t）2+（3﹣t）2，