2019-2020年高考数学一模试卷(文科)含解析

解得，

∴D．

直线DE的斜率为k1=

==，

∴．

21．已知函数f（x）=lnx （Ⅰ）求函数（Ⅱ）证明：

的最大值．

；

都成立，求实数a的

（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的

取值范围．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；

（Ⅱ）令h（x）=x﹣f（x），求出h（x）的导数，得到函数的单调区间，求出h（x）的最小值，结合F（x）的最大值，从而证出结论即可；

（Ⅲ）利用参数分离法，转化为以m为变量的函数关系进行求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）F（x）=

+=

+，F′（x）=

，

令F′（x）＞0，解得：x＜e，令F′（x）＜0，解得：x＞e， ∴F（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减， 故F（x）max=+；

证明：（Ⅱ）令h（x）=x﹣f（x），则h′（x）=从而h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， ∴h（x）的最小值是h（1）=1， 又F（x）的最大值是+＜1， ∴F（x）＜h（x）， 即

+＜x﹣f（x）；

，

解：（Ⅲ）不等式mf（x）≥a+x对所有的m∈[0，]，x∈[1，e2]都成立， 则a≤mlnx﹣x对所有的m∈[0，]，x∈[1，e2]都成立，

令H（x）=mlnx﹣x，m∈[0，]，x∈[1，e2]是关于m的一次函数， ∵x∈[1，e2]， ∴lnx∈[0，2]，

∴当m=0时，H（m）取得最小值﹣x， 即a≤﹣x，当x∈[1，e2]时，恒成立， 故a≤﹣e2．

2016年9月19日