电磁场与电磁波理论（第二版）（徐立勤，曹伟）第2章习题解答

第2章习题解答

2.2已知半径为a、长为l的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度?V?????0?a，

?0???a?。试求总电量Q。

解：Q??V?VdV??l00??2πa?0?a0?d?d?dz?πla2?0

232.3 半径为R0的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q。当球以角速度?绕某一直径(z轴)旋转时，试求

其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 ?S?Q 4πR02面电流密度为 JS??S?v??S?R0sin??QQ?sin??Rsin?? 024πR04πR02.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流JS?e?JS0。已知导线的直径为d，导线中的电流为I0，试

求JS0。

I04I0? 22π(d/2)πd4I由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 JS?Jd?0

πd4I因此，等效面电流密度为 JS?e?0

πd2.6 两个带电量分别为q0和2q0的点电荷相距为d，另有一带电量为q0的点电荷位于其间。为使中间的

解：每根导线的体电流密度为 J?点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-q0时，结果又如何？ 解：设实验电荷q0离2q0为x，那么离q0为d?x。由库仑定律，实验电荷受2q0的排斥力为

F1?实验电荷受q0的排斥力为

12q0 24π?xq01

4π?(d?x)2q012q01?要使实验电荷保持平衡，即F1?F2，那么由，可以解得 224π?x4π?(d?x)F2?x?22?1d?0.585d 22?1d?0.585d。只是这时实验电荷与q0和2q0不

如果实验电荷为?q0，那么平衡位置仍然为x?是排斥力，而是吸引力。

2.7 边长为a的正方形的三个顶点上各放置带电量为q0的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E。 解：设点电荷的位置分别为q0?0,0,0?，q0?a,0,0?和q0?0,a,0?，由库仑定律可得点P?a,a,0?处的电

场为

11?1?E??ex?ey?22?4π?0?2???e?e?8xyq0?2a?2?ey1q01q0?ex4π?0a24π?0a2

2?1q02π?0a21

?

2.9半径为R0的半球面上均匀分布着面电荷，电荷密度为?S0，试求球心处的电场强度；若同样的电荷均

匀分布在半径为R0的半球内，再求球心处的电场强度。 解：面电荷密度产生的电场强度为

E?r??14π?02π?S??r?r???r?r?π/23S0dS?

2根据面电荷分布的对称性，电场强度只沿着z方向。由于dS??R0sin??d??d??，那么

E?r???ez?S04π?0?0d???0sin2??d?? ??ez?S0 4?0如果电荷均匀分布在半球内，那么体电荷密度为

22πR0?S03?S0Q ????332πR0/32πR0/3R0把体电荷密度分成很多薄球壳，根据上述结果，厚度为dr?的球壳产生的电场强度为

?dE?r???ezdr?

4?0那么，半球内均匀分布的电荷密度在球心产生的电场强度为

E?r?)??ez?4?0?R00dr???ez3??R0??ezS0 4?04?02.14 如题2.14图所示，两个半径分别为a和b?b?a?的球面之间均匀分布着

体电荷，电荷密度为?0。两球面的球心相距为d，且d?a。试求空腔内

的电场。

解：我们把空腔看成是由电荷密度分别为?0和??0的体电荷，那么在空腔内电场可以看成电荷密度为?0、

半径为b的大圆球产生的场和电荷密度为??0、半径为a的小圆球查收的场的叠加。由高斯定理，大

圆球产生的电场为

?0Qr??rbb3?rb23? ?0 Q而小圆球产生的电场为 Ea?r??raa3?rb23?Eb?因此合成场为 E??0??rb?0ra?0d 3?3?3?2.22 如题2.22图所示，在半径为a的圆柱导体内并排挖了两个与其轴线平行、半径为b的圆柱形空腔。

两空腔的轴线与导体柱的轴线的距离相等，均为d，且d?b。当导体通以均匀分布的电流I时，试求空腔内的H。

解：假设导体中的电流是?ez方向的。由于导体的电流密度为J0?I/πa2?2b2，所以可以把空腔看成

是两个电流密度也为J0的?ez方向的导体柱。那么在空腔内磁场可以看成该两个小导体柱和半径为a，没有空腔的大圆柱导体柱所产生的场的叠加。利用安培环路定律，可以分别得到大圆柱在两个空腔内产生的磁场以及两个小导体柱在两个空腔内产生的磁场，最后得到

左腔内 H?H大?H左?H右

???II??exy?ey?x?d???ey?ex???xy?2π?a2?2b2?2π?a2?2b2??

Ib2??exy?ey?x?d???2?222?2π?a?2b??x?d??y??x?d?b2???Iyb2???e?ed?????xy22222π?a2?2b2??x?d?yx?d?y???????????

2

右腔内 H?H大?H左?H右

IIb2??exy?ey?x?d????exy?eyx??2?22?222?2π?a?2b?2π?a?2b??x?d??y?I??exy?ey?x?d???22?2π?a?2b?

??x?d?b2???Iyb2???e?ed?????xy22222π?a2?2b2??x?d?yx?d?y???????????2.30 已知无源的自由空间内E?exE0cos??t??z?，其中E0，?和?为常数。试求磁场强度H和位移

电流Jd。

解：由麦克斯韦第二方程可得

ex?B?????E??t?xEx于是有

ey??yEytezex??0?zEzExey00ez??ey?E0sin??t??z? ?z0H?而位移电流

B?0???0?01ey?E0sin??t??z?dt?ey?E0cos??t??z? ??0?D?E??0??ex??0E0sin??t??z? ?t?tπx2.31 已知无源的自由空间内H?eyH0cossin??t??z?，其中H0,a,?和?为常数。试求E和Jd。

a解：由于在无源的自由空间J?0，由麦克斯韦第一方程可得

Jd?ex?D????H??t?xHx?ex?H0cos于是有 E?D?1ey??yHyezex????z?x0Hzey0Hyez?Hy?Hy ???ex?ez?z?z?x0?0?0?0t?πH0πxπxcos??t??z??ezsinsin??t??z? aaa?H0πH0πxπx??Hdt?excossin??t??z??ezsincos??t??z?

??0aa??0a?而位移电流 Jd?πH0?Dπxπx?ex?H0coscos??t??z??ezsinsin??t??z? ?taaa2.32 已知介电常数为?，磁导率为?的空间内

E?eyE0cos??t?kxx?kzz?

试求：电荷密度?和电流密度J，J?0的条件是什么？

解：由麦克斯韦第四方程可得

????D????E?0

而由麦克斯韦第二方程可得

ex?B?????E??t?xEx??ex

ey??yEy?Ey?xezex????z?x0Ezey0Eyez??z0

?Ey?z?ez??exkzE0sin??t?kxx?kzz??ezkxE0sin??t?kxx?kzz?3

于是有 H?B??1?0?0????E?dt??et0kzE0x??0ey00cos??t?kxx?kzz??ezkxE0??0cos??t?kxx?kzz?

而

ex???H??xHxey??yHyezex????z?xHzHxez???H?Hz??ey?x???z?x???zHz

?kz2E0?kx2E0??ex?sin??t?kxx?kzz??sin??t?kxx?kzz????0???0?代入麦克斯韦第一方程可得

2?kx2ky??DJ???H??ey?????Esin??t?kxx?kyy? ???0?t??????22由此可见，J?0的条件是kx?ky??2??。

2.33 已知无源的自由空间内 H?exA1sin4xcos??t?ky??ezA2cos4xsin??t?ky? 试求相应的位移电流密度。 解：由于在无源的自由空间J?0，由麦克斯韦第一方程可得

ex?D????H??t?xHx于是有

ey??yHyezex????z?xHzHxey??y0ez0?exHz?Hx ?Hz?Hz?ey?ez?y?x?y ??exkA2cos4xcos??t?ky??ey4A2sin4xsin??t?ky??ezkA1sin4xsin??t?ky?

E??而位移电流

D?01?1?0????H?dtt0

??exkA2cos4xsin??t?ky??ey4A2sin4xcos??t?ky??ezkA1sin4xcos??t?ky??????0?D??exkA2cos4xcos??t?ky??ey4A2sin4xsin??t?ky??ezkA1sin4xsin??t?ky? ?t2.34 已知半径为R0的球面内外的电场分别为

Jd??A??ercos??e?sin????RE??0?B?e2cos??esin??r???r3?r?R0?

?r?R0?假设球内外的介电常数均为?0。试求：（1）满足边界条件的B；（2）球面上的面电荷密度及其总电量；（3）球面内外的体电荷密度。 解：由电场切向分量连续的边界条件可得

E1tD1nr?R0?E2tr?R0?E1?r?R0?E2?r?R02 ?B?AR0代入电场法向方向分量满足的边界条件可得

r?R0?D2nr?R0??S??S?D1n??S?r?R0?D2nr?R0??0E1r?r?R0?E2rr?R0?

3?0Acos? R04

2.35 已知半径为R0、磁导率为?的球体内外的磁场强度为

?2?ercos??e?sin???H??A?er2cos??e?sin????r3解：由磁场法向分量连续的边界条件可得

?r?R0??r?R0?

且球外为空气。试求：（1）满足边界条件的A；（2）球面上的面电流密度JS。

B1nr?R0?B2nr?R0??r?0H1rr?R0??0H2rr?R03 ?A??rR0代入磁场切向方向分量满足的边界条件可得

en??H1?H2??JS?JS?er??H1?H2??e??2??r?sin?

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